Экспоненциальный (показательный) закон распределения

Экспоненциальному закону распределения подчиняется:

• • наработка на отказ ремонтируемых и неремонтируемых объектов при рассмотрении внезапных отказов;
• • время безотказной работы сложных систем, прошедших период приработки и состоящих из элементов с различной интенсивностью отказов;
• • длительность восстановления ремонтируемых объектов.

Случайная величина X называется распределенной по экспоненциальному (показательному) закону, если ее функция плотности имеет вид:

где X > 0 - постоянный параметр экспоненциального распределения.

Тогда дифференциальная функция распределения будет иметь вид:

Условием возникновения экспоненциального закона распределения времени до отказа служит постоянство интенсивности отказов X = const, что характерно для внезапных отказов на интервале времени, когда период приработки объекта закончился, а период износа и старения еще не начался, т. е. для нормальных условий эксплуатации.

Постоянной становится интенсивность отказов сложных объектов, если вызываются они отказами большого числа комплектующих элементов.

В частном случае, когда за случайную величину принимается время работы объекта, имеют место следующие зависимости между основными количественными характеристиками надежности.

Вероятность безотказной работы

Вероятность отказа

Интенсивность отказов

Независимость интенсивности отказов от времени работы системы составляет главную отличительную особенность экспоненциального закона распределения случайной величины.

Среднее время безотказной работы (математическое ожидание наработки до отказа)

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение при этом равно

Равенство среднеквадратического отклонения среднему времени работы - характерный признак экспоненциального распределения.

На практике это свойство часто используют для проверки истинности гипотезы о существовании экспоненциального закона распределения. Если Т_о существенно отличается от о, это означает, что экспоненциальный закон для данной технической системы несправедлив.

Одна из основных причин широкого использования экспоненциального закона заключается в том, что вследствие неизменности величины X, расчеты надежности при применении этого распределения наиболее просты.

Пример 4.8. Время работы объекта до отказа подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром X = 3 • 10 ⁴ 1/час.

Требуется вычислить количественные характеристики надежности объекта:

• вероятность безотказной работы p{t) и вероятность отказа q(t)

для заданного времени t = 1000 ч;

• среднее время безотказной работы 7

Решение

Вычислим вероятность безотказной работы и вероятность отказа

Найдем среднее время безотказной работы