Распределения непрерывных случайных величин
Нормальный закон распределения
Наиболее важным из законов распределения непрерывных случайных величин является нормальный закон распределения (закон Гаусса, предельный закон). Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная его особенность заключается в том, что он является предельным законом, к которому' приближаются все другие законы распределения.
Распределение случайной величины всегда подчиняется нормальному закону, если она зависит от большого числа однородных по своему воздействию факторов. Причем влияние каждого из них по сравнению со всей их совокупностью незначительно.
Нормальному закону подчиняются ошибки измерений.
В теории надежности этот закон чаще всего используется при оценке надежности объектов на стадии старения и износа. Например, в ряде случаев нормальному закону подчиняется распределение времени восстановления ремонтируемых объектов, наработка до отказа не- восстанавливаемых объектов.
Нормальное распределение используется для приближенных расчетов в тех случаях, когда имеет место биномиальное распределение, или распределение Пуассона.
Нормальному закону распределения подчиняются только непрерывные случайные величины. Поэтому нормальное распределение может быть задано:
• либо в виде плотности распределения (дифференциальной функции)
• либо в виде интегральной функции распределения
Здесь х - независимая переменная; тх и ох - параметры нормального распределения.
Из этих формул видно, что нормальное распределение случайной величины является двухпараметрическим, т. е. полностью описывается двумя числовыми характеристиками:
- • тх=М[Х], являющимся математическим ожиданием случайной величины;
- • gv=ct(X), являющимся средним квадратическим отклонением случайной величины.
Для практического использования функции и плотности распределения перейдем от переменной х к другой переменной z = (x-mr)/aJr,
имеющей математическое ожидание A/[Z] = 0 и дисперсию D] = 1.
В результате получается центрированное, нормированное распределение, дифференциальная cp(z) и интегральная Ф(д) функции которого табулированы [7] и имеют вид:
Функция cp(z) является симметричной, т. е. q>(-z) = -cp(z), а следовательно, Ф(-д) = 1-Ф(д).
В справочных таблицах (табл. П2.1, прил. 2) часто приводят значения не функции Ф(д), а несколько иной функции
называемой нормальной функцией Лапласса.
При z>0 справедливо соотношение Ф(д) = 0,5 + Ф0(д).
Если в качестве случайной величины х принять наработку до отказа t объекта, то можно определить его показатели надежности при нормальном законе распределения по следующим формулам:
1) вероятность отказа
2) вероятность безотказной работы
3) интенсивность отказов
4) среднее время безотказной работы
В последних формулах:
т1 и G'- параметры распределения (математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение);
Пример 4.6. Время безотказной работы объекта подчиняется нормальному закону распределения с параметрами т1 =7004 и ст, =1200, а заданное время работы объекта tvl = 800 ч.
Необходимо вычислить количественные характеристики надежности объекта р(/!Д), ^(/.1Д), А,(гзд) для заданного момента времени txi и среднее время его безотказной работы То.
Решение
Вероятность безотказной работы рассчитаем по формуле
где
- аргумент функции
Лапласа; Ф0 (0,83) = 0,2967 - значение функции Лапласа по табл. П2.1 (прил. 2).
Вероятность отказа объекта
Интенсивность отказов объекта
где
Среднее время безотказной работы объект Т0.
Пример 4.7. Случайная величина Т (время безотказной работы объекта) подчиняется нормальному закону распределения с параметрами т, = 60 и а, = 20.
Требуется найти вероятность попадания случайной величины Т в заданный интервал (30; 90).
Решение
Для нормального закона распределения вероятность того, что Т примет значение, принадлежащее заданному интервалу [/,, t2], вычисляется по формуле
где
- аргументы
функции Лапласа;
- значения функции Лапласа по табл. П2.1 (прил. 2).
Вероятность попадания случайной величины Т в заданный интервал (30; 90) равна
