Виды коэффициентов корреляции для переменных, измеренных с помощью шкал различного типа

При выборе нужного коэффициента корреляции следует обязательно учитывать тип шкалы, с помощью которой измерены включенные в анализ переменные. Если нам необходимо оценить интенсивность связи между двумя признаками, один из которых измерен с помощью интервальной шкалы, а второй — с помощью номинальной шкалы (например, отношение к ценности «реформа» жителей Санкт-Петербурга разного возраста), то оптимальным является использование коэффициента корреляции Пирсона.

Традиционным для выполнения корреляционного анализа является обращение к коэффициенту корреляции Пирсона (Pearson) Р (в литературе он обозначается и через г_х).

Формально для использования этого коэффициента должны выполняться следующие требования:

• ? переменные должны быть измерены с помощью, как минимум, интервальной шкалы (очевидно, что в области политологии не так много переменных могут быть измерены с помощью интервальных шкал или абсолютных метрических шкал, среди них возраст, партийный стаж, стаж работы в органах власти);
• ? связь между переменными должна быть линейной (если связь является монотонной, но не линейной, используют коэффициенты корреляции Спирмена или Кендалла);
• ? включенные в анализ переменные должны иметь нормальное (или хотя бы приближенное к нормальному) распределение.

Коэффициент Пирсона

где х. — значения одного признака; у. — значения второго признака; х — среднее арифметическое первого признака; у — среднее арифметическое второго признака.

Приведем таблицы корреляционного анализа в пакете SPSS (табл. 49). Коэффициент Пирсона колеблется в диапазоне от -1 до + 1, статистически значимым он признается, если по модулю равен или больше, чем 0,37. В данном случае он равен -0,388, т.е. является статистически значимым, а связь — обратная: чем старше человек, тем с большей вероятностью он участвует в выборах. И наоборот, чем человек моложе, тем меньше вероятность дождаться его на избирательном участке.

Таблица 49

Голосование петербуржцев различного возраста на выборах 2003 г.

(опрос, 2005 г., Санкт-Петербург)

«Вы голосовали на выборах в Государственную Думу в 2003 г.?»

Окончание табл. 49

Тест хи-квадрат

Примечание. Нет ячеек, в которых отклонение наблюдаемых от вероятностных значений частот было бы меньше 5. Минимальное значение разности этих величин равно 64,34.

Симметричные значения

пользовать коэффициент ранговой корреляции по Спирмену или т Кендалла (тау Кендалла). Если одна из переменных является дихотомической, а вторая — порядковой или интервальной, то можно применить коэффициент ранговой корреляции. В случае если обе переменные являются дихотомическими, то можно использовать коэффициенты Юла (Q) и контингенции (ф) для четырехклеточных таблиц (таблица 2 х 2).

Расчет корреляции между двумя недихотомическими переменными имеет смысл тогда, когда связь между ними имеет линейный характер. Если же связь, например ^-образная, неоднозначная, то коэффициент корреляции окажется близким к нулю даже при наличии связи между признаками.

Нет ячеек, в которых отклонение наблюдаемых от вероятностных значений частот было бы меньше 5. Минимальное значение разности этих величин равно 64,34.

На примере приведенной выше таблицы мы можем рассмотреть весьма типичный случай, когда коэффициенты корреляции (Пирсона и Спирмена — об этом коэффициенте см. ниже) между признаками не являются статистически значимыми (они равны соответственно +0,356 и +0,411), однако анализ ячеек таблицы сопряженности (процентное распределение, значения стандартизованных остатков) и показатели статистики хи-квадрат (432,621 при критическом значении 26,296 для таблиц со степенью свободы 16 и уровню значимости 0,05) уже позволяют зафиксировать некоторые значимые формирующиеся закономерности. Рассматриваемый пример интересен тем, что в исследовании «Политический Петербург-2010» ЦЭПИ факультета политологии СПбГУ удалось зафиксировать факт формирования стереотипов отождествления двух типов социальных конфликтов — этнических и конфессиональных (табл. 50). Дело не только в том, что в реальной политической практике они чаше всего развиваются одновременно. Налицо и влияние СМИ, необдуманно навязывающих населению представления о том, что русские не могут не быть православными и что конфликтуют с русскими преимущественно мусульмане. Только примерно для 15% петербуржцев, живущих в многонациональном и многоконфессиональном мегаполисе, эти виды конфликтов не представляются опасными; около 50% горожан склонны реально оценивать риски, связанные с ними.

Оценка петербуржцами опасности конфликтов по этническому и религиозному признакам

Таблица 50

(Санкт-Петербург, 2010 г.)

Тест хи-квадрат

Примечание. Нет ячеек, в которых отклонение наблюдаемых от вероятностных значений частот было бы меньше 5. Минимальное значение разности этих величин равно 64,34.

Окончание табл. 50

Симметричные значения

• * Опровержение нулевой гипотезы.
• ** Использование асимптотической стандартной ошибки для проверки нулевой гипотезы.
• *** Основан на нормальном распределении.

Приведем еще один пример (табл. 51), наглядно свидетельствующий о том, что эмпирические исследования, построенные на основе опросов общественного мнения, при использовании корреляционного анализа позволяют оценивать эффективность принятия политических решений и сделать определенный прогноз. Коэффициент корреляции Пирсона для показателей доверия петербуржцев КПРФ и «Справедливой России» равен +0,548. Связь прямая, статистически значимая. На практике это означает, что обе партии имеют одну и ту же группу поддержки и на ближайших парламентских выборах будут конкурировать между собой за электорат. При этом электорат «Справедливой России» в Санкт-Петербурге в настоящий момент значительно превышает группу поддержки КПРФ (25% против 15%). И хотя обе партии могут пройти на следующих выборах 7%-ный барьер, перспективы КПРФ в среднесрочной перспективе выглядят менее предпочтительными, чем у «Справедливой России». Кроме того, можно констатировать, что усилия исполнительной власти федерального уровня по созданию конкурентоспособной левой партии увенчались успехом. И «справедливороссы» в настоящий момент скорее успешно конкурируют за электорат левой КПРФ, чем центристской «Единой России».

Таблица 51

Степень доверия петербуржцев левым оппозиционным парламентским партиям

(Санкт-Петербург, 2010 г.)

Тест хи-квадрат

Примечание. В одной ячейке (4,0%) отклонение наблюдаемых от вероятностных значений частот меньше 5. Минимальное значение разности этих величин равно 4,39.

Окончание табл. 51

Симметричные значения

• * Опровержение нулевой гипотезы.
• ** Использование асимптотической стандартной ошибки для проверки нулевой гипотезы.
• *** Основан на нормальном распределении.

Если при описании политического объекта определяется лишь наличие или отсутствие признака или если изучается связь между альтернативными признаками, то корреляционные таблицы (таблицы сопряженного признака) — 4-клеточные. В этом случае применяются коэффициент Юла (Q) и коэффициент контингенции (ср). Они основаны на принципе совместного появления событий (значений признаков у объекта исследования) и пригодны для анализа любых признаков (метрических, порядковых и даже номинальных).

Коэффициент Юла:

где — 1 < Q< +1.

При 0 = 0 связи между двумя признаками нет, при Q = ±0,59 существует неустойчивая связь, при Q -» ±1 корреляция между парой признаков полная. При Q > 0 связь прямая, при Q < 0 связь между характеристиками обратная. При Q = 1 имеет место односторонняя зависимость. Если 0,5 < Q< 1, то связь считается достаточно тесной. Коэффициент Юла — показатель односторонней связи.

Для измерения двусторонней зависимости используют коэффициент контингенции (<р). При этом <р всегда < Q. Если <р значительно меньше Q, то связь односторонняя:

Рассмотрим следующий учебный пример. Допустим, были опрошены 100 респондентов, имеющих различные доходы (переменная X) и высказавших различное отношение к ситуации в стране (переменная Y) (табл. 52).

Таблица 52

Таблица распределения ответов респондентов об уровне их доходов и удовлетворенности экономической ситуацией в стране

(учебный пример)

Для нашего примера Q = [(20 х 50) — (30 х 0)] / [(20 х 50) + (30 х 0)] = = 1000 / 1000 = 1. Коэффициент контингенции в этом случае

Следовательно, в нашем примере зависимость двусторонняя. Действительно, обладатели низких доходов склонны скорее быть недовольными развитием дел в стране и недовольные ситуацией скорее всего получают низкий доход, однако корреляционный анализ ничего не говорит нам о причинно-следственных связях, соответственно при использовании только этого метода анализа мы не можем утверждать, что критическое отношение к положению дел в РФ является следствием неудовлетворенности респондентов своим материальным положением.

В случае если номинальные шкалы имеют большее число значений, чем два, то для определения зависимости между признаками пользуются коэффициентами сопряженности Пирсона (Р), Чупрова (7) и Крамера (К). При этом определенное значение имеет размерность таблицы с на к, в которой отображены значения двух признаков. Коэффициенты Чупрова и Крамера считаются более «строгими», чем коэффициент сопряженности Пирсона. Но поскольку вычисления в них строятся с учетом статистики %², то все связанные с ней ограничения распространяются и на эти коэффициенты:

0< Р< 1, Р= 0 при полной независимости признака;

Необходимо обратить внимание еще на один технический момент. Во многих источниках, в частности у Хили, представленный вариант коэффициента Пирсона, рассчитываемый на основе статистики хи- квадрат, называется ф (фи), а условия его применения обозначаются следующим образом: «расчет коэффициента корреляции переменных, измеренных с помощью номинальных шкал и имеющих два значения», т.е. для таблиц размерностью 2x2. Статистически значимая связь обозначается в диапазоне от 0,33 до 1,00.

У того же Хили подробно описано использование коэффициента А (лямбда), который строится на подходе «пропорционального уменьшения ошибки» (PRE). Этот коэффициент является асимметричным, т.е. его величина зависит от того, какую из переменных рассматривают в качестве зависимой (при расчете в пакете SPSS ее помещают в строки таблицы), а какую — в качестве независимой (при расчете в пакете SPSS ее помещают в столбцы таблицы). Кроме того, нежелательно использовать этот коэффициент для таблиц, в которых одна из сумм по строке намного больше других, так как это приведет к ложным выводам (при расчете А окажется равной нулю, хотя подругам признакам, например, стандартизованным остаткам, мы будем видеть наличие закономерностей). Аналогичные сложности можно получить, если в маргинальной строке таблицы будут наблюдаться значительные перепады между частотами.

Связь между переменными, измеряемыми по порядковой шкале, анализируется с помощью коэффициентов G (гамма), с! Соммера и тау-Ь Кендалла.

При изучении относительной интенсивности свойств (ранжировании) для анализа связей используют коэффициент ранговой корреляции. Эффективно применяется он при анализе распределений данных опросов общественного мнения или статистики, полученной при помощи ранговой шкалы. Цель использования коэффициента ранговой корреляции заключается в выявлении сходства распределения ответов двух групп опрашиваемых на один и тот же вопрос. При этом варианты ответа на этот вопрос представляют собой ранговую шкалу. Кроме того, коэффициент ранговой корреляции позволяет очень грамотно оценить сходство или различие изменения какого-либо признака во времени, т.е. он может быть использован для оценки характера развития двух динамических рядов: например, при необходимости оценки акций протеста в различных регионах, при исследовании характера активности вступления в различные политические партии, при оценке рейтингов политических институтов и лидеров. Коэффициенты ранговой корреляции применяются в случаях, когда распределение хотя бы одной из двух переменных не соответствует нормальному и когда связь между переменными является монотонной, но не линейной. Коэффициент ранговой корреляции основан на принципе ковариации, т.е. согласованности изменения свойств признака. Он может применяться для метрических и порядковых признаков. Один из наиболее употребимых коэффициентов ранговой корреляции — ранговый коэффициент Спирмена (Великобритания, 1904 г.). Для решения аналогичных задач также можно использовать коэффициент ранговой корреляции Кендалла (т)¹, который имеет вероятностную природу.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена:

где d — разность между рангами (порядковыми номерами) каждой сопоставляемой пары; N — число сопоставляемых пар рангов; Z — сумма квадратов d.

Параметры коэффициента: -1 < р < +1. При р = — 1 порядок распределения ответов по двум опрашиваемым группам прямо противоположен, а при р = +1 он полностью совпадает.

Этот коэффициент удобен для сравнения данных анкетного опроса и данных контент-анализа, например, при изучении эффективности деятельности СМИ. Коэффициент ранговой корреляции р выявляет степень идентичности распределения ответов двух сравниваемых групп (например, социальных слоев) или изменения во времени статистических данных по различным территориальным образованиям.

Например, в двух крупных городах N и М был проведен опрос с целью выяснения уровня доверия различным институтам власти. Выяснилось, что в городе N в той или иной степени доверяют президенту 68,5%, губернатору — 76,2%, представителю президента — 27,6%, Государственной Думе — 35,2%, Законодательному собранию — 43,1%, депутатам местных советов — 12,9%. В городе М данные опроса составили соответственно 70,6; 34,8; 17,6; 48,9; 55,1; 29,3%.

В данном случае коэффициент Спирмена легко сосчитать с помощью следующей вспомогательной таблицы (табл. 53).

' Читается: «тау Кендалла»

Таблица 53

Таблица для расчета коэффициента ранговой корреляции

В данном примере можно однозначно сказать, что хотя ответы респондентов в двух городах отличаются существенно, однако общие схожие установки в отношении институтов власти обнаружены.

Множественный коэффициент корреляции (И⁷), который иногда называют коэффициентом конкордации, применяется для оценки согласованности двух или нескольких рядов ранжированных значений переменных.

Процедура расчета и интерпретация результатов корреляционного анализа в пакете SPSS предельно просты. Вариантов расчета коэффициентов корреляции между признаками в статистическом пакете SPSS два. Во-первых, можно воспользоваться опциями анализа перекрестных (комбинированных) таблиц и дополнить ее последовательно расчетом статистики хи-квадрат, стандартизованных остатков и коэффициентов корреляции. Во-вторых, можно использовать опцию correlation (анализ корреляций).

Хотя корреляционный анализ считается исключительно отработанной и надежной процедурой для оценки плотности и направленности связи между признаками при изучении социальных и политических процессов, некоторые специалисты в области исследовательских методик достаточно скептически относятся к надежности выводов, получаемых с помощью различных коэффициентов корреляции.

Например, С. Д. Хайтун обращает внимание на то, что для надежности выводов используемые коэффициенты должны удовлетворять трем критериям — релевантности, воспроизводимости и валидности. Релевантность предполагает аддитивность^[5]. Он утверждает, что практически все коэффициенты корреляции, которые сейчас используются в анализе общественных процессов, являются неаддитивными. Критерий воспроизводимости требует, чтобы результаты не зависели от объема выборки. Требование валидности в данном случае означает, что при расчете коэффициентов связи между признаками должна использоваться максимально полная информация о них. Кроме того, требование валидности предполагает учет формы взаимосвязи между признаками.

Коэффициенты корреляции Пирсона и ранговый Спирмена, по мнению Хайтуна, не соответствуют ни одному из этих критериев, коэффициенты ранговый корреляции Кендалла и связи Гудмена—Крускала удовлетворяют требованию воспроизводимости, слабо — критерию валидности, не удовлетворяют критерию релевантности. Коэффициент сопряженности Пирсона и коэффициент Чупрова критерию релевантности не удовлетворяют, критерию воспроизводимости и валидности — слабо, с оговорками. Коэффициент Крамера имеет некоторое преимущество перед коэффициентом сопряженности Пирсона, поскольку выполняет требование воспроизводимости. В отношении коэффициентов Юла и контингенции (ср) С. Д. Хайтун делает вывод, что они соответствуют требованию воспроизводимости, но критерию валидности — слабо, не выполняют требование релевантности.

Несмотря на критику, корреляционный анализ остается одним из наиболее часто используемых методов обработки социальной и политологической информации.

• [1] Опровержение нулевой гипотезы.
• [2] Использование асимптотической стандартной ошибки для проверки нулевой гипотезы.
• [3] Основан на нормальном распределении. Если, по крайней мере, одна из двух включенных в корреляционный анализ переменных измерена с помощью порядковой шкалы или ее распределение не является нормальным, то можно ис-
• [4] Основан на нормальном распределении. Если, по крайней мере, одна из двух включенных в корреляционный анализ переменных измерена с помощью порядковой шкалы или ее распределение не является нормальным, то можно ис-
• [5] Аддитивность (от лат. additivus — прибавляемый) (матем.) — свойство величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно суммезначений величин, соответствующих его частям при любом разбиении объекта на части.