УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме

где t — независимая переменная (время); хп — искомые функции.

Предположим, что правые части системы (1), т. е. функции fi(x1, ..., хп) непрерывны в некоторой открытой области G, которая может совпадать со всем пространством. Предполагаем также, что функции /,(х 1(..., имеют непрерывные частные производные по переменным х ..., хп в области G. При этих условиях, как известно, существует единственное решение = Xi(t,Xi,..., лг°), г = 1,п, удовлетворяющие начальным условиям

при произвольных

Далее перейдем к векторной записи системы (1), а именно, будем записывать ее в виде

где

Условие (2) при этом имеет вид

Следует заметить, что решение задачи Коши, т. е. решение системы (1а) при условии (26) может существовать не для всех значений t, -<х> +оо, а только на некотором конечном промежутке, определяемом, например, теоремой Пикара. Если же решение определено для любого значения t, то говорят, что это решение продолжаемо. В § 8 главы 5 формулировались условия продолжаемости решений. При этом, если решение определено на интервале (t0, +оо), то говорят, что решение бесконечно продолжаемо вправо, а если решение определено при t е (-°о, t0), то говорят, что решение бесконечно продолжаемо влево. Далее через ||х|| будем, как и ранее, обозначать норму вектора х. В простейшем случае под нормой вектора будем понимать евклидову длину вектора, т. е.

Однако норма может быть определена и другими способами, например,

или

Введение нормы в фазовом пространстве даст возможность ввести понятие близости точек пространства и, следовательно, понятие предельного перехода. Очевидно, что если последовательность векторов хт сходится к вектору х в смысле одной из указанных норм, то она сходится к этому вектору и в смысле любой из двух других норм. В этом случае говорят, что указанные нормы топологически эквивалентны.

Заметим, что решение х = x(i) мы рассматриваем как траекторию в фазовом пространстве переменных хх, ..., х,„ где t играет роль параметра. В § 1 главы 7 была рассмотрена интегральная непрерывность решений. Было доказано, что для систем с непрерывной правой частью и свойством единственности имеет место следующее свойство.

Пусть x(t) (a есть решение системы (1). Тогда для любых е > 0 и [а, Р] е (а, Ь) существует 8 > 0 такое, что решение y(t), определяемое начальным условием у(у) = у0,

Рис. 12

где у е [а, Р] и ||х(у) - у(у) < 8, будет определено при а < t < р, причем ||x(f) - y(t)|| < е для t е [а, Р] (рис. 12).

В теории устойчивости исследуется близость решений на бесконечном интервале (f0, +°о).

Пусть х = x(t) — некоторое решение системы (1), определенное при t > а. Это решение будем называть невозмущенным (программным) движением, а любое другое, в отличие от него, возмущенным.

момент t = t,

0>

Рис. 13

Определение 1. Невозмущенное движение х = x(t) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого t0> а и любого г > 0 существует 5(t0, е) > О такое, что при || х0 - х0 || < <8(t0,z) будет ||:*:(f,f0,*o)-x(*)||t > t0, где x(t, t0, х0) есть возмущенное движение, проходящее через точку х0 в т. е. x(t, t0, х0) = х0, а х(?0) = Зоиными словами, решение x(t) устойчиво, если для достаточно близких к нему в любой момент t0 решения x(t) определены при всех t > t0 и целиком погружаются в сколь угодно узкую е-трубку, построенную вокруг решения x(t). Из определения также следует, что всегда нужно выбирать 8 < е (рис. 13).

Определение 2. Если число 8 > 0 можно выбрать не зависящим от начального момента t0 е Т, т. е. 8 = 8(e), то устойчивость называется равномерной в области Т.

Определение 3. Решение х = x(t), t > а будем называть неустойчивым по Ляпунову, если для некоторых е > О и t0 e (a, +oo) и любого 5 > 0 существует решение x&(t) и момент^ = ^(8) > t0такие, что || xs(i0)-x(?0)||<8H ||х8(^)- -х(^)||>е.

Заметим также, что из отрицания определения 1 вытекает, что неустойчивым следует считать решение х(?) непродолжаемое бесконечно вправо, т. е. при t -+ +оо, или такое, для которого в любой окрестности точки x(t0) найдется точка х0, порождающая в момент t0 решение х(<), непродолжаемое бесконечно вправо.

Определение 4. Невозмущенное движение х = x(t) называется асимптотически устойчивым по Ляпунову, если 1) оно устойчиво по Ляпунову и 2) существует такое положительное h(t0), что при || x(i0)-x0 ||< h(t0) будем иметь l|x(f,f0>*o)-*(f)|->0 при t -+ +00.

Сделаем в исходной системе преобразование координат по формуле

где y(t) — новая искомая вектор-функция.

В результате получим систему

Система (4) имеет решение

Решение (5) обычно называют положением равновесия системы (4). Отметим также, что систему (4) называют системой в отклонениях от нулевого решения или просто системой в отклонениях. Решение (5) принимаем далее за невозмущенное решение. Тогда определение 1 примет вид:

Рис. 14

Определение 5. Нулевое решение у = 0 называется устойчивым по Ляпунову, если для любого (0>аи любого с > О можно выбрать 8(г, t0) > 0 такое, что при Ы < 8 будет

при этом y(t0, t0, у о) = у0.

Другими словами, нулевое решение устойчиво по Ляпунову, если для достаточно малых б > 0 и произвольных t0 > а возмущенное решение y(t, t0, y0) определено при всех t e (t0, +oo) и при этом оно погружается в сколь угодно малую s-трубку вокруг нулевого решения у = 0 (рис. 14).

Определение 6. Нулевое решение называется асимптотически устойчивым по Ляпунову, если

  • 1) оно устойчиво по Ляпунову;
  • 2) можно выбрать величину h(t0) > 0 так, что для любого у0, ||у0|| < h(t0) будем иметь [|f/(f, t0, ?/0)|| -» 0 при t -+ +ао.

При этом шар ||i/|| < h(t0) называют областью притяжения положения равновесия у = 0.

Пусть система (1) определена в полупространстве

Очевидно, что в этом случае система (4) определена также в полупространстве G, т. е. при a +оо и ||г/|| < +оо.

Определение 7. Если нулевое решение системы (4) асимптотически устойчиво по Ляпунову и при этом любое возмущенное решение y(t, t0, у0) таково, что y(t, t0, г/0)|| —> О при t —> +оо, то говорят, что нулевое решение асимптотически устойчиво в делом.

В этом случае, областью притяжения является все пространство Д", т. е. для любого t0 > а и любого у0 е 1?" имеет место Iy(t, t0, г/0)|| -» 0 при t —> +оо.

Замечание 1. Можно доказать (см. задачи 1, 2), что при исследовании вопроса об устойчивости решения, а также его асимптотической устойчивости, можно ограничиваться проверкой только для некоторого заданного начального момента t0.

В дальнейшем для теории устойчивости будем считать, как правило, начальный момент t0 фиксированным.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >