НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

где F е C(D), F е Lip^D).

Рассмотрим начальные данные

Для системы (10), при сделанных предположениях, имеет место единственность решения задачи Коши. Пусть у = у(х, х0, у0) — решение системы (10) в форме Коши.

Теорема 5. Если правые части системы (10) такие, что выполняются условия

то общее решение в форме Коши у = |/(х, х0, у0) непрерывно по х0 и по у0.

Доказательство. Сделаем замену переменных в системе (10):

Запишем

В итоге, мы получаем систему

Функция F по условию теоремы непрерывна по х, у, следовательно, F непрерывна по х0, Уо- Проверим выполнение условия Липшица. Рассмотрим норму разности

Следовательно, функция F удовлетворяет условию Липшица по 2 в соответствующей области.

Рассмотрим решение г = Ф(?, х0, у0), Ф(0, х0, у0) = 0. Решение (11) с начальными условиями = 0, 20 = 0 соответствует решению системы (10) с начальными условиями 0, у0).

Вследствие теоремы о непрерывной зависимости решения от параметров, решение г = Ф(f, х0, у0) непрерывно по своим аргументам. Вернемся к исходным переменным

Функция Ф(х - х0, х0, у0) непрерывна по всем аргументам, в том числе по х0, у0. Мы получаем, что решение у = v|/(x, х0, у0) непрерывно по х0, у0-

Теорема доказана.

Пример 1. Имеем

Рассмотреть, как решение у = у(х, х0, у0) зависит от *о- Уо-

Пример 2. Имеем

Рассмотреть, как решение у = у(х, х0, у0) зависит от *о. УоПример 3. Пусть

Рассмотреть, как решение у = ф(х, х0, у0) зависит от *о> Уо-

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >