НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРОВ И НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части которой зависят от параметров

где fs e C(DxM), M — область изменения параметра в m-мер- ном пространстве, fs е Lipy(DxM).

Рассмотрим начальные данные

Условия существования и единственности выполнены, следовательно, однозначно определено решение у = ср(х, щ, ..., рт), удовлетворяющее условию <р(х0, р1( ..., рт) = у0. Функция у = ф(лг, Цх, ..., рт) — непрерывно дифференцируема по х, так как является решением.

Теорема 4. Решение системы (7) с начальными условиями (8), является непрерывной функцией по р, если выполнены условия fs е C(DxM), fs е Lipy(DxM), s = l,n.

Доказательство. Покажем, что для любого е > 0 существует 8>0 такое, что из ||р-р||<8 следует, что ||(р(х,рх,...,

pm)-(p(jc,pi,..„ рт)||<8. _

Решение системы (7) с начальным условием (8) ф(х, рх, ..., р„,) — определено при х е [а; р]. Рассмотрим /(х, у, р) = = f(x, у, р) + (f(x,y,i)-f(x, у, р).

Г(х,у)

Далее рассмотрим систему

_ Решение системы (7) с начальными данными (8) ср(х,

Рх,...,р„,) будет решением (9). Далее заметим, что функция г(х, у) может быть выбрана сколь угодно малой. По любому 8 > 0 можно выбрать 8 > 0: || р - р || < 8, следовательно, || г(х, у) || <8.

Далее будем исходить из теоремы о непрерывной зависимости решений от правых частей нормальной системы, по любому е > 0 выберем по теореме 1 8 > 0, тогда существует 8 > 0:

Следовательно, ||г(х, г/)||<8.

Таким образом, решения отличаются друг от друга меньше, чем на а.

Теорема доказана.

Следствие 1. Решение системы (7) с начальными условиями (8) является непрерывной функцией по совокупности аргументов, если выполнено: fs е C(DxM), fs е Lip^Dx хМ), s = 1, п.

Доказательство. Для доказательства достаточно рассмотреть следующее выражение:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >