СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ

НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрим систему

Данные предположения гарантируют существование и единственность решения, удовлетворяющего начальным условиям

Пусть решение у = ср(лг) определено на [а; р]. Рассмотрим систему

где r(x, z) — пертурбация (возмущающий член), г е C(D). Рассмотрим решение системы (3)

где (х0, у0) — допустимые начальные значения для системы (3).

Лемма 1 (Лемма Гронуолла). Предположим, что непрерывная функция и(х) удовлетворяет при х>х0 следующему неравенству:

Тогда выполняется следующее неравенство

Доказательство. Обозначим

где и(т) — непрерывная функция, тогда F(x) — непрерывно дифференцируемая функция.

Учитывая (4) и (6), можем записать

Умножим обе части на е~Ь{-х~Хо):

Преобразуем, получаем при

Берем от обеих частей интеграл от х0 Д° х:

Учитывая, что V(x0) = а, это следует из (5), получаем

В итоге, имеем искомое неравенство

Лемма доказана.

Теорема 1. Для любого г > 0 существует 8 > 0 такое, что если ||г(х, 2)|| < 8 при любых (х, z) е D, то решение z = |/(х) системы (3) с начальным условием (2) определено на том же сегменте [а; р], что и решение системы (1) с начальным условием (2), и ||<р(х) - vp(x)|| < е для любого х е [а; Р].

Доказательство. Пусть D — односвязная открытая область. Пусть ср(дс) — решение, проходящее через точку (*о> Уо)-

Обозначим SE = {(x, x < p, y - (p(x)|| < e}, St. — компакт. Если S,.(?D, to будем выбирать такое г: 0<ё<е: S,<=D.

Как уже было сказано выше, мы обозначаем vp(x) — решение системы (3), <р(х) — решение системы (1).

По лемме об интегральном представлении решения задачи Коши имеем

Рассмотрим норму разности решений у(х) и (р(х):

Учитывая, что / е ЫрДЛ), а ||г(х, z)|| < 5, можем продолжить неравенство

Далее рассмотрим два случая.

1. Пусть х > х0. Применяя лемму Гронуолла, можем записать

2. Далее, пусть х < х0. Можем записать Тогда при х > х0и х < х0 имеем

Если выбрать , то для всех х из рассматриваемого промежутка существования будет выполняться

Покажем, что решение у(х) определено для любого х е [а; Р].

Предположим, что у(х) определено на более узком промежутке, т. е. существует х е[а;Р]:

Пусть х — первая точка выхода у(х) на границу (она существует из непрерывности и в силу того, что х*х0). С одной стороны, || ср(х) - j(x) || < ?, с другой стороны, || ф(х) - -ф(х)||=е, следовательно, такой точки х не существует. Следовательно, у(х) определено на всем [а; Р].

Теорема доказана.

Пример 1. Рассмотрим систему

Правые части системы не удовлетворяют условию Липшица. Пусть (х0, у0) = (0, 0). Рассмотрим у = ф(х) = 0. Далее рассмотрим

где можно сделать сколь угодно малой.

Решения данных систем не будут близки с точностью до е, так как не выполняется условие Липшица, нет единственности, т. е. условия теоремы 1 не выполнены.

Теорема 2 (Теорема об интегральной непрерывности решений). Пусть все решения системы (1) определены и непрерывны при х е (—оо; +оо). Пусть у = ф(х) — решение

системы (1) с начальными данными (x0,y0). Тогда для любого ? > 0 и любого Т > 0 существует 8(е, Т)> 0 такое, что для любых хх, ух: | Xj - х0 | < 8, || ух - у0 || < 8 имеет место

где ф^х) — решение системы (1): ф^х^ = ух (рис. 10).

Доказательство. Пусть у(х, х0, у0) — решение в форме Коши. Имеем |/(х,х0, г/о) = ф(х), ф(х, хх, ух) = фх(х). Функция ф является непрерывной по всем аргументам при допустимых начальных условиях |х00|<8, ||(/0 0 ||<8. Решения определены на R, следовательно, и на | х - х0 | < Т.

f(x, ф(х, х0, г/0)) непрерывна на компакте, следовательно, можно записать ||/(х, ф(х, х0, (/0))ll ^ М, М = const.

По лемме об интегральном представлении решения задачи Коши, имеем

Вычтем одно равенство из другого:

Оценим норму разности данного выражения:

По лемме Гронуолла при | х - х0 |< Т имеем

Очевидно, что всегда можно выбрать такое 8, что будет выполняться

Теорема доказана.

Также справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Если ф(х) (ах < х < а2) есть решение системы (1), то для любого ? > 0 и [а; |3] с (ах; а2) существует 8 > 0: решение фх(х), определенное начальным условием фх(х) = уи где хх е [а; Р] и |^pi(xx) - ф(жг1)|| < 8, будет иметь смысл при а < х < р, причем ||фх(х) - ф(х)|| < е для х е [а; Р] (рис. 11).

п

Рис. п

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >