КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Рассмотрим квазилинейное уравнение в частных производных первого порядка

где и — неизвестная функция от независимых переменных t, хх, х2, ..., хп, Хх, Х2, ..., Х„ и В— заданные функции своих аргументов. Считаем, что Х12,...,Хп, Be C}XU(D), D с Вп+2.

Сведем это уравнение к линейному однородному уравнению в частных производных первого порядка. Будем искать решение и в неявной форме

где функция и непрерывно дифференцируема по своим аргументам и

Если u(t, х) — решение уравнения (50), то и(t, х, u(t, х)) = 0. Продифференцируем данное тождество по переменным t, хх, хп, получим равенства

<5и (?, х, и)

dv(t,x,u)

du _

dt

u=u(t,x)

du

U=U(tyX)

8u(t,x,u)

<3u (t,x,u)

du

dxs

u=u(t,x)

du

u=u(t,x) dx8

Так как то можно выразить частные производные искомой функции

и подставить полученные выражения (52) в уравнение (50).

Умножая полученное равенство на приходим к

уравнению

Теорема 8. Если и =(t, лг) — решение уравнения (50), то функция u(f, х,и) = и - ф(?, х) является решением уравнения (53).

Доказательство. Проверяется непосредственной подстановкой в (53).

Теорема 9. Если функция и = Ф(г, х, и) — решение

уравнения (53), причем и если равенство

Ф(?, х, и) = 0 разрешимо относительно и в области D, то неявно заданная этим уравнением функция и = ф(?, х) является решением уравнения (50).

Доказательство. Дифференцируя тождество Ф(^ х, Ф(t, х)) = 0 по переменным t, хи ..., хп получаем равенства

Выражая из полученных тождеств функции

и подставляя их в уравнение (53), приходим к равенству

Поскольку то получаем, что функция

и = ф(?, х) есть решение уравнения (50).

Теорема доказана.

Рассмотрим систему для характеристик уравнения (53)

Это система из п + 1-го уравнения 1-го порядка, имеет п + 1 независимых первых интегралов. Пусть (v|/,(?,x,u), j = 0,п} — общий интеграл уравнения (54).

Теорема 10. Общим решением уравнения (50) является неявно заданная функция

где Ф(г0, zlt ..., zn) е C1(l?n+1)— произвольная функция такая, что равенство (55) разрешимо относительно переменной и.

Доказательство. Доказательство состоит из объединения теорем 8 и 9.

Пример 1. Найти общее решение квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка.

Составляем систему для характеристик

и находим общее решение

Разрешая общее решение относительно С1; С2 получаем Ci=/2(x + u + t + l)e t, С2 = l/2(x-u + t-l)e+t. Поэтому общий интеграл этой системы суть

Следовательно, общее решение исходного уравнения задается равенством

Пример 2. Дано квазилинейное уравнение в частных производных первого порядка

Найти общее решение и решение задачи Коши г = у - - 4, х = 2.

Запишем соответствующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений для характеристик в симметрической форме

Решая последовательно уравнение

получаем решение

и для уравнения получаем решение г = с2х.

Разрешая полученные решения относительно произвольных постоянных, находим общий интеграл

Таким образом, общее решение может быть представлено в неявном виде

В данном случае мы можем записать его и в явном виде

Найдем теперь решение задачи Коши. При х = 2 должно выполняться равенство , поэтому f(s) = s.

Следовательно, z = у - х* — решение задачи Коши.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Построить матричную экспоненту и матричный логарифм для матриц

2. Покажите, что любая фундаментальная матрица не вырождена.

3. Проинтегрировать системы уравнений

4. Имеет ли периодические решения система уравнений

  • 5. Покажите, что все решения системы z' = A(x)z стремятся к нулю при х —> +оо тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы А расположены в открытой левой комплексной полуплоскости.
  • 6. Покажите, что система z' = A(x)z имеет решения, не ограниченные при х —> +оо тогда и только тогда, когда матрица А имеет хотя бы одно собственное число с положительной вещественной частью.
  • 7. Какой из следующих вариантов ответа будет верным?

Общим решением уравнения

будет

а)

б) , где F — произвольная непрерывно дифференцируемая функция;

в) , где с12 — произвольные постоянные.

8. Какой из следующих вариантов ответа будет верным?

Интегральной поверхностью для системы

при условии z — у при х = 0 будет:

  • а) параболоид;
  • б) полусфера;
  • в) конус.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >