ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим систему

В векторной форме получим

Мы предполагаем, что

Лемма 9. Пусть у = ср(х) — решение системы (88), определенное на интервале (а; Р). Тогда <р(х + kT) также будет являться решением (88), определенном на интервале

Доказательство. Так как + kT) е (а; Р), следовательно, ср(х + kT) определена на (а - kT; р - kT).

Рассмотрим

Лемма доказана.

Обозначим |/(х, х0, у0) — общее решение в форме Коши системы (88).

Лемма 10. Общее решение в форме Коши для системы (88) удовлетворяет условию

Доказательство. Рассмотрим

Это решение, так как мы берем (х0 + kT, у0) — допустимые начальные условия.

Далее так как ф(х) — решение, следовательно, по лемме 9 ср(х + kT) — тоже решение.

Рассмотрим ф(х + kT, х0 + kT, у0), ф(х, х0, у0) при х = х0.

Получаем два решения одной начальной задачи. Тогда в силу единственности решения начальной задачи, они должны совпадать.

Лемма доказана.

Определение 20. Равновесным решением будем называть решение вида

Лемма 11. Для того, чтобы ф(х) = с было равновесным решением необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. Необходимость. Пусть ф(х) = с — решение. Тогда, подставляя его в систему, получаем

Достаточность. Пусть /(х, с) = 0. Тогда рассмотрим функциюф(х) = с. Подставим ее в систему (88), получаем тождество, следовательно, ф(х) = с — решение.

Лемма доказана.

Определение 21. Функция ф(х) называется со-периоди- ческим решением системы (88), если

  • 1) ф(х) — решение системы (88), определенное при х е R;
  • 2) ф(х 4- о) = ф(х).

Определение 22. Если (I, т е N), то ф(х) называется периодическим решением 1-го рода. Если со и Т несоизмеримы ( — иррациональные), то ф(х) — периодическое решение И-го рода.

Пример l.y' = -cosx(y2 - 4), T = 2л.

Рассмотрим

Получаем

ф(х) =±2 — равновесные решения.

Пример 2. у' = у - sin* - cosx.

Таким образом, решение может быть периодическим при с = 0,2л — периодическим 1-го рода.

Пример 3.

— периодическое решение Н-го рода;

Лемма 12. Для того, чтобы (дс0> У о) было начальным условием решения системы (88) с периодом необходимо и достаточно, чтобы

где |/(х, х0, (/о) — решение системы (88) с начальным условием (х0, у0).

Доказательство.

Необходимость. Пусть ф(х) = ф(х, х0, у0) — со-периоди- ческое решение с начальным условием (я0, у0). Тогда ф(ж + + ты) = ф(х), т. е. ф(*0 + сот, х0, у0) = у0, (ыт = Т).

Достаточность. Пусть (х0, у0) — соответствующие начальные условия решения ср(х) = |/(х, х0, у0). Из (92) следует, что ср(х0 + Т) = ср(х0).

Рассмотрим функцию <р(л: + T), это решение по лемме 9. Обозначим ф(х + Т) =: ф(х). Вычислим ф(;с) при х = х0, получаем, что

Тогда, в силу теоремы существования и единственности решения начальной задачи, мы получаем, что

Следовательно, ср(дг) — Г-периодическое решение (заметим, что Т — не обязательно минимальный период, Т — кратно периоду). Тогда ф(х) — оз-периодическое решение

(со — минимальный период, , m е N).

Лемма доказана.

Следствие 7. Для того, чтобы (х0, у0) было начальным условием решения системы (88) с периодом, (I, m е

е N) необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. Рассмотрим систему (88), как IT-периодическую в правой части. Тогда по лемме 12, ф(х0 + IT, *о> Уо) = Уо-

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >