СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим систему

В векторной форме получим

Заметим, что правые части системы явно не содержат х, мы предполагаем, что f е C(D), f е Ыру(?)), D с R'1, D — односвязная область.

Лемма 3. Пусть у = ф(х) — решение системы (82), определенное на интервале (а; Р). Тогда цДх) = ср(х) + с также будет являться решением (82), определенном на интервале

Доказательство. Рассмотрим

Лемма 4. Для системы (82) общее решение в форме Коши имеет вид

где Ф(0, (/о) = Уо> Ф(*. Уо) — решение системы (82) с начальным условием (0, у0).

Доказательство. Рассмотрим Ф(х, у0) — решение системы (82) с начальным условием (0, у0), у0 е D.

Обозначим ср(лг):= Ф(х - х0, у0), рассмотрим ф(х + х0) = = Ф(х, у0), следовательно, ф(х + х0) — решение системы (82). Тогда по лемме 3 имеем семейство решений ф(х + + х0 + с), следовательно, ф(х) — решение системы (82).

Далее рассмотрим ф(х0) = Ф(х0 - х0, у0) = Ф(0, у0) = у0, следовательно, ф(х) — решение системы (82) с начальным условием (х0, Уо)-

Пример. Рассмотрим систему у' = Ау, общее решение в форме Коши имеет вид

где еМх~Хо) —фундаментальная матрица системы.

Определение 16. Пространство х, у2, ...уп} будем называть фазовым пространством.

Определение 17. Проекцию решения у = ф(х) в фазовое пространство будем называть фазовой траекторией.

Лемма 5. Фазовые траектории либо совпадают, либо не имеют общих точек.

Доказательство. Рассмотрим два решения: фх(х), х е е (ах; Рх) и ф2(х), х е (а2; Р2).

Запишем следующие утверждения.

  • 1. Если для любых х,х выполняется ф1(х)*ф2(х), следовательно, их проекции решений ф1(х), ф2(х) не имеют ни одной общей точки (xe(aj;pi),xe(a2; р2)).
  • 2. Если для любого xe^jjPj) существует хе(а22), такое что выполняется следующее равенство ф! (х) = ф2(х). Тогда проекции решений фх(х), ф2(х) совпадают.

Далее предположим, что существуют х е (а!; Рх) и х е е (а2; р2), такие что выполняется фх(х) = ф2(х), причем, утверждения 1 и 2 не выполнены.

Рассмотрим решение |/(х) = ф2(х-х+х), по лемме 3 v|/(x) — решение системы. Рассмотрим фазовые траектории vj/(x) и ф2(х), они совпадают, так как ф(х) сдвинуто по отношению к ф2(х) на х - х параллельно оси абсцисс. Рассмотрим далееф(х) = ф2(х-х + х) = ф2(х) = ф!(х), следовательно, у(х) и фг(х) — решения с начальными данными (х, Фх(х)). Так как существует единственное решение, то |/(х) = = фх(х). Тогда фазовые траектории фДх) и ф2(х) совпадают.

Лемма доказана.

Определение 18. Равновесным решением системы (82) называется решение вида ф(х) = у0.

Лемма 6. Для того чтобы ф(х) = у0, (у0 е D) было равновесным решением системы (82) необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. Докажем необходимость. Пусть у0 е е D — равновесное решение системы (82). Тогда (у0)' = = Дуо), отсюда следует, что f(y0) = 0.

Докажем достаточность. Пусть Дуо) = 0. Рассмотрим ф(х) = 1/0, подставим эту функцию в систему (82)

получаем справедливое тождество, так как /(ф(х)) = Ду0) = = 0 и ф'(*) = 0. Таким образом, получаем, что у0 — равновесное решение системы (82).

Лемма доказана.

Пусть у0 — решение системы (84). Разложим f(y) в ряд в окрестности у0:

Обозначим — постоянная матрица.

Тогда

— система линейного приближения.

Определение 19. Решение у = ф(х) называется периодическим с периодом Т, если выполняются следующие два условия:

  • 1) ф(х + Т) = ф(х);
  • 2) решение определено для всех х е R.

Пусть ф(х) — решение системы (82).

Тогда будет справедлива следующая лемма.

Лемма 7. Для того, чтобы у = ф(х) было Т-периодиче- ским решением системы (82) необходимо и достаточно, чтобы

для некоторого х0.

Доказательство. Докажем необходимость. Если ф(х) — периодическое решение, то (86) имеет место для любого х, следовательно, и для некоторого х0.

Докажем достаточность. Пусть ф(х0 + Т) = ф(х0) для некоторого х0. Тогда ф(х) определено, по крайней мере, на 0, ;t0 + Т]. Рассмотрим |/(х) = ф(х + Т), у(х) определено, по крайней мере, на [х0 - Т, х0]. ф(х) — решение по лемме 3. Рассмотрим v|/(jc0) = ф(х0 + Т) = ф(х0) (с учетом (86)).

Рассмотрим

ф(х) непрерывна на [х0 - Т,х0+ Т], на этом промежутке ф(лг) = ф(х + Г).

Рассмотрим теперь

ф(х) — непрерывна на R, является решением Г-периодическим.

Лемма доказана.

Лемма 8. Пусть ф(х - х0, у0) — общее решение в форме Коши системы (82). Для того, чтобы (х0, у0) было начальным условием Г-периодического решения необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. Докажем необходимость. Пусть (х0, у о) — начальные условия Т-периодического решения

Тогда у(0, у0) = у(Г, уд), а так как у(0, у0) = у0, то получаем у(Т, у0) = I/O-

Докажем достаточность. Пусть имеет место ф(Т, у0) = = у0, заметим ф(х, у0) — решение. По лемме 7 получаем, что тогда (x0, y0) — начальные условия Г-периодического решения.

Лемма доказана.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >