ГРУППОВОЕ СВОЙСТВО ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ В ФОРМЕ КОШИ

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в которой f(x, у) е C(D).

Определение 7. Общим решением системы (38) будем называть совокупность функций

зависящих от х и п произвольных постоянных и удовлетворяющих следующим двум условиям:

1) уравнение (39) разрешимо в окрестности любой точки (х, ух, у2, ...,уп) е D:

2) при подстановке в (38) они обращают его в тождество при всех сх, с„.

Теорема 4 (Групповое свойство решения). Пусть правые части системы (38):

у = ф(х, х0, у о) — общее решение в форме Коши, а(х0, у0) < х < Р(х0, уq)у х0 также принадлежит этому интервалу.

Пусть хх е (а(х0, у0); Р(х0, у0)), тогда выполняется следующее свойство:

Доказательство. Пусть ф(х) = v|/(x, х0, у0) — решение, ср(лг0) = у0. Далее при х = хх имеем

Обозначим ф(х) = ц/(х, хх, г/i), ф(л:1) = ух. Вычислим ф(х) и ф(х) при х = хх:

Получаем, что ф(хх) = ф(хх), таким образом имеем два решения начальной задачи, что противоречит условиям теоремы, следовательно, ф(х) = ф(х).

Теорема доказана.

Пример. Рассмотрим у' = а(х)у. Запишем общее решение в форме Коши

Далее можем записать

Таким образом, свойство (40) выполняется.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >