СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение 1. Совокупность соотношений вида

связывающих независимую переменную х и п искомых функций и их производные до порядков тх, т2, ..., тп, соответственно, называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Число уравнений обычно равно числу неизвестных функций.

Мы будем рассматривать лишь один из важнейших классов указанной системы.

Рассмотрим

Пусть Fx, F2, ..., Fn таковы, что система функций разрешима относительно производных искомых функций:

Система вида (1) называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме. Перепишем ее еще раз:

где y's = i/'Ax), fs(x,yuy2,...,yn)eC(D), DczRn+1, fs функции, которые определены и непрерывны по всем своим аргументам в некоторой области D cRn+1, п + 1-мерного пространства, D — односвязная область.

Определение 2. Число уравнений в системе (1) называется порядком этой системы.

Вводя обозначения у = и у2пУ, f = (fu f2, где ’— знак транспонирования, y = dy/dx, систему (1) можно записать так же в векторной форме

Далее будут применяться обе формы записи.

Если правые части (1) линейно зависимы от искомых функций, то система дифференциальных уравнений называется линейной. Если в правую часть явно не входит х, то система называется стационарной или автономной.

Определение 3. Решением системы (1) называется векторная функция у = ф(х) = (фДх), ф2(х), •••, ф,,(*))*, х е (а; Р), непрерывно дифференцируемая на (а; Р) — ф е Сх(а; Р), которая удовлетворяет следующим двум условиям:

1) (х, фДх), ф2(х), ..., ф„(х)) е D при у = ф(х) = (фДх),

ф2(х), ..., ф„(х))% х е (а; Р); _

2) фДх) = /Дх,фх(х),ф2(х),...,фп(х)), s = l,n, хе(а;Р).

Решение — гладкая кривая в Д"+1. Рассмотрим точку

(х, фх(х), ф2(х),..., ф„(х)) е D. Касательная к графику решения будет сонаправлена вектору (1,ф^(х),ф2(х),...,ф^,(х))е е D. Построим в каждой точке области D касательную к решению.

Определение 4. Полем направлений для системы (1) называется совокупность отрезков единичной длины, построенных в каждой точке области D, направление которых определяется вектором

Задача Коши. Рассмотрим точку 0, у10, у20,...п0) е D. Определение 5. Задачей Коши называется задача отыскания решения у = ф(х) системы (1), удовлетворяющего условиям

или в векторной форме

Условия (3) — начальные условия или начальные данные Коши.

Механическая интерпретация. Если х — время, уи

у2, ..., уп — пространственные координаты,

скорость изменения s-й координаты. Система (1) задает скорости, по которым надо определить траектории.

Рассмотрим дифференциальное уравнение я-го порядка

введем замену:

Тогда уравнение (4) сводится к системе дифференциальных уравнений:

Таким образом, уравнение (4) равносильно системе (6). Если у = (Уи у2, •••> Уп)— решение (6), то исключая уравнения из системы, получим, что у(х) — решение (4), и ух — я раз дифференцируемо.

Все теоремы, которые верны для системы (6), верны и для уравнения (4) с соответствующими условиями.

Рассмотрим уравнение (4) с начальными условиями:

Найдем решения (6), удовлетворяющие условиям:

Тогда z(x) = yi(x). Начальные задачи (4)-(7) и (6)-(8) эквивалентны.

Лемма 1 (Об интегральном представлении решения начальной задачи Коши). Для того чтобы непрерывно дифференцируемая функция у = ф(лг) = (cpx(jc), 2(*)> •••> ср,,(*))* была решением уравнения (1), удовлетворяющим допустимым начальным условиям (3), необходимо и достаточно, чтобы ф(лг) была решением системы интегральных уравнений

или векторного уравнения

Доказывается аналогично скалярному случаю.

Ломаные Эйлера. Обозначим у0 = (у10, у2о, ???> У„оУ-

Рассмотрим начальное условие (дг0, Уо), зададимся шагом h и построим ломаные Эйлера:

Рассмотрим множество точек: П = {(х, у): х - х0| < а, || у - г/0|| < Ь} — компакт. ПсЛ.

Пусть .такой максимум существует,

так как непрерывная функция f достигает максимума на компакте.

Теорема 1 (Теорема Пеано). Если / е C(D),0, у0) е D, Пс D. Тогда существует решение у = ц>(х) системы (1), удовлетворяющее начальному условию (3), определенное по крайней мере на промежутке Пеано:

Доказательство. Проводится аналогично доказательству теоремы 2 главы 1 и с учетом того, что для векторных переменных в аналогичных местах необходимо знак модуля заменить знаком нормы.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >