МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИИ n-ГО ПОРЯДКА
ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕПОЛНЫХ УРАВНЕНИЙ n-ГО ПОРЯДКА
Рассмотрим вначале уравнение вида
Если это уравнение можно записать в нормальной форме
где функция f(x) определена и непрерывна на интервале (а, Ь), то общее решение уравнения (31) получается л-крат- ным последовательным интегрированием
где х0 е (а, Ь).
В формулу (32) входят все решения уравнения (31). Если для уравнения (32) заданы начальные условия У1кЧх0) = Уо)'> k = 0,1,. ..,п-1, то решение задачи Коши запишется так
Если уравнение (30) не записывается в виде (31), то можно ввести параметризацию в виде х = ср(?), у(п) = у(0>
так что F(q(t), v|/(l)) = 0. Найдем далее выражение переменной у через t. Так как d(//(""1)) = y(n)dx = y(t)(p'(t)dt; следовательно, у(п~Х) = ||/(i)(p'(l)dl + Ci =v|/i(?,Сх). Продолжая процесс интегрирования, найдем у = v|i„(t, Clt..., С„) и, добавляя выражение х = ф(1), получим общее решение уравнения в параметрической форме.
Пример 1. Найти общее решение уравнения еу' + у" = х.
Введем параметризацию по формулам у" = t, х = е‘ + t.
Тогда d(y') = tie1 + 1 )dt, откуда
Далее,
Следовательно,
Добавляя к этому равенству параметрическое представление х = е' + t, получаем общее решение уравнения в параметрической форме.
