СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

Для упрощения обозначений докажем теорему, формулировка которой приведена в предыдущем параграфе, для дифференциального уравнения второго порядка

с начальными условиями

Пусть функция f в уравнении (14) определена на множестве

где а > О, b > 0.

Пусть, кроме этого, функция f непрерывна на указанном множестве по всем аргументам и удовлетворяет на этом множестве условию Липшица по аргументам у и у', т. е.

Докажем, что тогда задача Коши (14)-(15) имеет единственное решение, которое определено и дважды непрерывно дифференцируемо по х, по крайней мере, на отрезке , причем М =

= тах|/| по множеству R.

Предположим, что функция у = ф(х) — решение задачи Коши (14)-(15). Тогда для этой функции верны соотношения

Интегрируя тождество (16) последовательно два раза и используя условия (17), получаем

Отсюда следует, что всякое решение задачи Коши (14)- (15) удовлетворяет двум интегральным уравнениям

Предполагая, что теперь функция у = ф(х) есть решение уравнений (18), не выходящее из множества R на отрезке [х0 - h,x0 + h], указанном в формулировке, продифференцируем дважды второе соотношение (18). Мы получим уравнение (16), а выполнение для функции у = ф(х) условий (17) очевидно. Итак, задача Коши (14)—(15) и интегральные уравнения (18)эквивалентны.

Как и при доказательстве аналогичной теоремы для уравнений первого порядка, будем строить последовательные приближения к решению второго уравнения (18). В качестве нулевого приближения выберем функцию

Эта функция непрерывно дифференцируема на отрезке [*о - h, х0 + h] и не выходит из множества R на этом отрезке. Действительно,

Дальнейшие приближения к решению уравнений (18) будем строить по формуле

При этом, в соответствии с первым уравнением (18)

Используя метод математической индукции по индексу п и рассуждая так же, как и при доказательстве аналогичной теоремы для уравнений первого порядка, мы убедимся, что если функция f непрерывна по своим аргументам на множестве R, то все последовательные приближения (20) непрерывны и непрерывно дифференцируемы один раз на отрезке [х0 - h, х0 + Л]. Покажем далее, что последовательные приближения (20) не выходят на этом отрезке из множества R.

В самом деле

В условиях теоремы справедливы неравенства Л < а;

Тогда

Окончательно,

Предполагая, что приближение уп-х(х) не выходит из множества R на отрезке 0 -Л, х0 + А], методом индукции устанавливаем, что оценки вида (22) и (23) будут выполнены и для приближения у„(х) и величины у'п(х).

Для доказательства того, что последовательность построенных приближений равномерно сходится к функции, являющейся решением уравнений (18), рассмотрим два функциональных ряда

Частичные суммы рядов (24) с номером п совпадают с величинами уп(х) и у'п(х) соответственно. Исследуем ряды (24) на равномерную сходимость на отрезке [х0 - h,x0 + А]. Заметим, что достаточно установить равномерную сходимость второго ряда (24). Если этот ряд равномерно сходится, то в силу непрерывности всех приближений у'„(х) на отрезке [х0 - h, х0 + h] предельная функция у'(х) также будет непрерывна на этом отрезке. Но тогда на этом же отрезке будет непрерывна и функция у(х), как предельная функция первого из рядов (24), поскольку

Легко установить выполнение следующих оценок

Введем функцию

Тогда из формул (20) и (21) будет следовать, что

В двойном интеграле изменим порядок интегрирования, после чего получим

Теперь, учитывая, что на отрезке [х0 - Л, х0 + Л] выполняется условие |х - т| < Л, получим окончательно

Формула (26) означает, что при получении оценок на каждом дальнейшем шаге мы будем использовать условие Липшица и оценку предыдущего шага. Из формул (25) непосредственно следует, что

Используя теперь формулу (26) и индукцию по индексу п, получаем

Итак, на отрезке [х0 - h, х0 + Л] для функции у„(х) выполнено неравенство (27), причем правая его часть не зависит от точки отрезка. Из неравенства (27) также следует, что величина уп(х) на указанном отрезке равномерно по х стремится к нулю при п -» оо.

Теперь установлено, что предельные функции рядов (24) непрерывны на отрезке [х0 - Л, х0 -I- Л] и не выходят на этом отрезке из множества R. Последнее вытекает из того, что приближения (20) и (21) обладали этим свойством и из равномерной сходимости рядов (24).

В формулах (20) и (21) перейдем теперь к пределу при л —> оо. Тогда окажется, что суммы рядов (24) (они же — предельные функции последовательностей (20) и (21)) тождественно удовлетворяют интегральным уравнениям (18). В силу установленной ранее эквивалентности, заключаем, что функция y(x), как предельная функция последовательности (20), является решением задачи Коши (14)-(15). Мы установили существование решения задачи Коши.

Предположим, что построенное решение не является единственным. Если у задачи Коши (14), (15) существует другое решение z(x), которое не выходит за пределы множества R на отрезке [х0 - h, х0+ h], то оно обязательно должно удовлетворять и уравнениям (18), т. е. на отрезке [х0 - - Л, х0 + /г] должны выполняться тождества

Найдем и оценим модуль разности между функцией z(x) и приближениями уп(х), построенными по формулам (20). Очевидно, что

Если теперь ввести функцию то, рассуждая так же, как и ранее, убедимся, что

и

Последнее означает, что последовательность (20) на отрезке [х0 - h, х0 + h] равномерно сходится к функции z(x). Таким образом у(х) = z(x), что завершает доказательство теоремы.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >