УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной, имеют следующий общий вид

Такое уравнение, вообще говоря, не всегда может быть преобразовано к нормальной форме записи. Так, уравнение первого порядка л-й степени вида

нельзя разрешить относительно у', если п > 4.

Определение 3. Решением в явной форме дифференциального уравнения (10) на интервале (а; Ь) называется функция у = <р(х), которая определена и непрерывно дифференцируема во всех точках этого интервала, и превращает уравнение (10) в тождество на этом интервале.

Решение уравнения (10) записывается в явной форме в исключительных случаях.

Определение 4. Соотношение у(х, у) = 0 является неявной формой записи решения уравнения (10), если оно определяет неявную функцию у(х), которая представляет собой решение уравнения (10).

Определение 5. Пара соотношений х = ф(?) и у = у(?) определяют решение уравнения (10) в параметрической форме, если на некотором интервале (<0; ?х) выполняется тождество

Задача Коши для уравнения (10) ставится так же, как и для уравнения в нормальной форме. Однако, понятие точки единственности для уравнения (10) изменяется по сравнению с аналогичным понятием, введенным в § 3 главы 1 для уравнения, разрешенного относительно производной. Это обусловлено особенностями поля направлений уравнения (10). Если уравнение у' = f(x, у) в каждой точке области определения функции f(x, у) задавало только одно направление поля, то для уравнения (10) это, вообще говоря, не так.

Пример 1. Рассмотрим уравнение у'2 - 1 = 0. Очевидно, оно распадается на совокупность двух уравнений у' = 1 и у' = -1. Оба уравнения определены на всей плоскости Оху, поле направлений первого уравнения имеет на всей плоскости одинаковый наклон, равный л/4. Аналогично, поле направлений второго уравнения также имеет на всей плоскости одинаковый наклон, равный -л/4. Поле направлений исходного уравнения образуется суперпозицией двух указанных полей. Таким образом, в каждой точке плоскости Оху данное уравнение определяет два направления поля. Нетрудно видеть также, что через каждую точку плоскости Оху проходят две интегральные кривые уравнения (10) — одна прямая семейства у = х + С и одна прямая семейства у = —х + С.

Определение 6. Будем говорить, что решение задачи Коши с начальными данными (х0, у0) единственно, если можно указать такую окрестность точки 0, Уо), через каждую точку которой проходит столько интегральных кривых уравнения (10), сколько направлений поля определяется уравнением (10) в точке (я0, у0). В противном случае будем говорить, что рассматриваемая задача Коши имеет не единственное решение.

В соответствии с этим определением, для уравнения, рассмотренного в примере 1, каждая точка плоскости Оху является точкой единственности.

Достаточные условия единственности решения задачи Коши в указанном выше смысле дает следующая теорема.

Теорема 2 (без доказательства). Пусть функция F(x, у, у') в уравнении (10) удовлетворяет следующим трем условиям.

  • 1. Функция F(x, у, у') определена и непрерывна в некоторой замкнутой ограниченной области G изменения переменных (х, у, у').
  • 2. Для некоторой точки (x0, y0) количество решений

уравнения F(x0, у0, у') = О относительно у' конечно. Обозначим эти решения как bх, Ът.

3. Все точки (х0, у0, bs) являются внутренними точками области G; в окрестности каждой из них функция F(x, у, у') непрерывно дифференцируема относительно у и у',

причем

Тогда на плоскости Оху существует окрестность точки (х0, у0), через каждую точку которой проходит ровно т решений уравнения (10).

При выполнении условий этой теоремы уравнение (10) распадается на совокупность конечного числа уравнений в нормальной форме

Функции Д.(х, у) определены в некоторой области D на плоскости Оху, интегральные кривые различных уравнений (11) не касаются друг друга внутри области D, для каждого уравнения (11) задача Коши в области D имеет единственное решение в смысле единственности, введенного для уравнений в нормальной форме. Каждое уравнение (11) имеет в области D свой общий интеграл |/А.(х, у) = С. Таким образом, общий интеграл совокупности (11) может быть записан в виде

Если уравнение (10) не представляется в виде совокупности (11), то общий интеграл уравнения (10) записывается в виде Ф(х, у, С) = 0. Если последнее соотношение можно разрешить относительно у, то получается общее решение уравнения (10) в явной форме у = <р(х, С).

Определение 7. Решение уравнения (10) называется частным, если каждая его точка является точкой единственности, в смысле единственности, введенном в этом параграфе. Решение уравнения (10) называется особым, если каждая его точка является точкой не единственности.

Выясним, как найти особые решения уравнения (10). Если оно распадается на совокупность (11), то особыми решениями могут быть только те интегральные кривые, вдоль которых не ограничена величина dfk/dy. Однако из

(11) вытекает, что , а последнюю величину можно получить из уравнения (10) вне зависимости от того, распадается оно на совокупность вида (11) или нет. Дифференцируя (10) по у на решениях, получаем

откуда

Отсюда вытекает, что особыми решениями уравнения (10) являются те кривые, на которых SF/dy' = 0, что согласуется с третьим условием теоремы 2. Итак, особые решения уравнения (10) удовлетворяют системе уравнений

Исключая из системы (13) величину у', получаем уравнение кривой р(х, у) = 0. Такая кривая называется р-диск- риминантной кривой (ПДК). ПДК может распадаться на несколько ветвей, для каждой из которых нужно выяснить, является ли эта ветвь решением уравнения (10) и, если это так, нарушается ли единственность в каждой его точке. Схематически структуру ПДК можно представить в виде произведения трех сомножителей

где 0 = 0 — уравнение огибающей; Z = 0 — уравнение геометрического места точек заострения интегральных кривых уравнения (10); Р = 0 — уравнение геометрического места точек прикосновения интегральных кривых уравнения (10), причем этот множитель входит в ПДК в квадрате.

Определение 8. Огибающей семейства кривых Ф(х, у, С) = 0 называется кривая, которая в каждой своей точке касается какой-либо кривой семейства, но не совпадает ни с одной из них ни на каком отрезке.

Пусть соотношение

задает общий интеграл уравнения (10).

Если семейство кривых (14) имеет огибающую, то она обязательно будет особым решением уравнения (10). Действительно, огибающая в каждой своей точке касается какой-либо кривой семейства (14), следовательно, направление касательной в каждой точке огибающей совпадает с одним из направлений поля, которые уравнение (10) определяет в этой точке. Значит, огибающая будет решением уравнения (10). Далее, через каждую точку огибающей по одному направлению поля проходят, по крайней мере, две интегральные кривые уравнения (10): сама огибающая и та кривая семейства (14), которая касается огибающей в этой точке. Следовательно, каждая точка огибающей является точкой не единственности.

Из курса математического анализа известно, что огибающая входит в состав с-дискриминантной кривой (СДК), определяемой системой уравнений

Для получения явного вида СДК необходимо исключить величину С из системы (15). СДК также может состоять из нескольких ветвей, только одна из которых соответствует огибающей. Схематически структуру СДК также можно представить в виде произведения трех сомножителей

где 0 = 0 — уравнение огибающей; Z = 0 — уравнение геометрического места точек заострения (этот множитель входит в СДК в кубе); U = 0 — уравнение геометрического места узловых точек интегральных кривых уравнения (10) (этот множитель входит в СДК в квадрате).

Из схематического представления ПДК и СДК видно, что только множитель, соответствующий огибающей, входит в состав той и другой кривой в первой степени.

Некоторая ветвь СДК заведомо будет огибающей, если на ней существуют и ограничены по модулю частные производные дФ/дх и дФ/ду, причем

или

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >