ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ВЕРХНЕЕ И НИЖНЕЕ РЕШЕНИЯ

Рассмотрим уравнение

где

Выберем допустимые начальные условия

и покажем, что существуют наибольшее и наименьшее решение задачи (1), (2).

Определение 1. Верхним решением задачи (1), (2) называется такое решение у = и(х, х0, у0) уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию и(х0, х0, у0) = у0, что любое решение у = ср(х) уравнения (1) с начальным условием ср(х0) = у0 подчиняется на общем промежутке определения решений неравенству

Определение 2. Нижним решением задачи (1), (2) называется такое решение у = п(х, х0, у0) уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию п(х0, х0, у0) = у0, что любое решение у = ср(х) уравнения (1) с начальным уеловием ф(х0) = г/0 подчиняется на общем промежутке определения решений неравенству

Пример 1. Построить для уравнения и начального условия х0 = 0, у0 = 0 верхнее и нижнее решение.

Заметим, что все решения этого уравнения монотонно возрастают и, кроме того, имеет место единственность решения начальной задачи (§ 5) в каждой точке (я, у) при уф 0. Поэтому нетрудно проверить, что верхнее и нижнее решения определяются равенствами

Докажем существование верхних и нижних решений для любой начальной задачи.

Лемма 1 (О сравнении решений). Рассмотрим решение у = ф(х) задачи (1), (2) и решение z = ф(х) уравнения г' = = F(x, z), в котором F е C(D), с начальным условием ф(х0) = = z0 и (х0, 20) е D. Если F(x, у) > /(х, у) при (х, у) е D и z0 > у0, то справедливо неравенство

Доказательство. Если z0 > у0, то существует число е > 0 такое, что неравенство (5) справедливо при х0 < х < <х0 + ?. Если 20 = у0, то ф'(*о) = F(x0, у0) > /(х0, у0) = ф'(*0)- Поэтому также существует положительное число е такое, что неравенство (5) выполняется при х0 < х < х0 + с.

Предположим, что неравенство (5) нарушается при некоторых х > х0. Так как функции |/(х) и ф(х) — непрерывны, то существуют значения х>х0, при которых достигается равенство ф(х) = ф(х). Обозначим через х нижнюю грань таких чисел. Очевидно, что х >х0+е, а из непрерывности функций ф(х) и у(х) следует равенство ф(х) = = ф(*) = У-

По построению величины х получаем, что ф(х) > ф(х) при х0 < х < х. Поэтому

если х0 < х < х.

Переходя в неравенстве (6) к пределу при х -» х - 0 получаем предельное соотношение )/'(*) < ф'(х), которое противоречит условию леммы v/(5f) = F(x, у) > f(x, у) = ф'(х).

Теорема 1 (О существовании экстремальных решений). Верхнее и нижнее решения задачи (1), (2) существуют.

Доказательство. Сначала покажем, что верхнее решение существует при х > х0. Рассмотрим вспомогательную систему уравнений

и построим какое-нибудь решение этой системы с начальным условием yN(x0) = у0.

Предположим, что числа а > 0 и b > 0 выбраны таким образом, чтобы выполнялось включение П = {(х, у)х - х0 <

< а, |у - у0 < Ь||} a D. Если определить М = max | /(х, у) |, то

(х,р)е11

согласно теореме Пеано (§ 5 глава 1) решения yw(x) определены при |х-х0 |<Л = тт{а,6/(1 + М)}. Таким образом, семейство функций {Ук(х)}%= определено при х - х0| < h, равномерно ограничено, поскольку |i/,v(x) - г/ol -Ь, и равностепенно непрерывно, так как | y'N (х) [ = | /(х, yN (х)) +11 <

< 1 + М. Следовательно, согласно теореме Арцела (§ 4 глава 1), существует сходящаяся при j -> qo подпоследовательность {у/у.(х)} -> г(х), равномерно на промежутке [х0 - h, х0 + А].

Переходя к пределу по j —» оо в интегральном равенстве

получаем для предельной функции равенство Согласно

лемме об интегральном представлении решения задачи Коши (§ 5 глава 1), функция у = г(х) есть решение уравнения (1) с начальным условием (2). С другой стороны, по лемме о сравнении решений при х > х0 справедливо неравенство yN. (х) > ф(х), поэтому г(х) > ф(х) и, следовательно, является при х > х0 верхним решением задачи (1), (2), т. е. и(х, х0, у0) = г(х).

Покажем, что верхнее решение существует при х < х0. Сделаем замену переменных t = —х, у - у. Тогда уравнение (1) и условие (2) примут вид

Согласно доказанному выше существует верхнее решение O(t,t0,y0) задачи (8) при t > t0, аименно ?)(?, t0,y0) > ф(Г) при t > t0 для любого решения у = ф(?) задачи (8). Однако, возвращаясь к переменным (х, у), видим, что функция у = й(-х,-х00) есть решение задачи (1), (2) и у = Ср(-х) — также решение уравнения (1) с начальным условием (2), причем справедливо неравенство й(-х,-х0, у0) > ф(-лг) при -х > -х0. Поэтому функция и(х, х00) = 0(-х,-хоо) является верхним решением задачи (1), (2) при х < х0.

Показать (самостоятельно), что замена переменных t = х, у = позволяет вопрос существования нижнего решения свести к доказанному утверждению о существовании верхнего решения.

Следствие 1. Пусть хх > х0 и ух = o(Xj, х0, у0). Тогда у = и(х, х0, у0) является при х>хх верхним решением уравнения (1) с начальным условием (jCj, ух), т. е.

Доказательство. Предположим, что тождество (9) нарушается. Тогда, с одной стороны, и(х, хх, ух) > и(х, х0, у0) при х > хх, так как v(xx, х0, у0) = ух. С другой стороны, существует такое х>хх, что v(x,xx,yx)>v(x,x0,y0).

Построим функцию

Очевидно, функция у = ц>[х) является решением задачи (1), (2) при лс0 <х<х, причем ф(х) > и(х,х00), что противоречит неравенству(3)определения 1.

Пример 2. Построить для уравнения и начальных условий х0 = —1, у0 = -1 и хх = 0, ух = 0 верхние решения и сравнить их.

Следуя решению примера 1, получаем v(x, -1, -1) = я3 при х е (-оо, +оо) и

Видно, что при х > х1 = 0 эти решения совпадают, а при х < хх — нет.

Упражнение. Доказать утверждение: п(х, хх, ух) = п(х, *о> Уо) ПРИ — ^-1 — х0, если ух = л(хх, х0, у0).

Следствие 2. Если имеет место включение

то для любой точки (хх, ух) е Г существует решение у = = cp(jc), удовлетворяющее граничным условиям ф(х0) = у0, Ц>(Хх) = Ух.

Доказательство. Определим величину

Если точка (хх, ух) принадлежит границе множества Г, т. е. Ух = о(хх, х0, у0) (или ух = я(хх, х0, у0)), то искомое решение есть ф(х) = и(х, х0, уо) (или ф(х) = п(х, х0, у0)).

Пусть точка (хх, уг) не лежит на границе Г. Построим при х < хх решение у = ф(х) уравнения (1) с начальным условием Ф(х1) = у1. Это решение либо определено на промежутке Xj - h < х < Xj и находится в множестве Г, либо в некоторый момент х > хх -h пересекает границу Г. В первом случае повторим процесс построения решения из точки (xj -Л,ф(хх -h)) на промежуток хх-2h < х < хх - h. Повторяя процесс продолжения решения у = ф(х) конечное число раз получим решение у = ф(х), определенное на промежутке х0 < х < х < хх и удовлетворяющее условиям:

  • а) (х,ф(х))еГ при х<х<хх;
  • б) ф(х) = и(х,х0,Уо) (или ф(х) = п(х,х00)).

Далее строим искомое решение

Замечание 1. Если выполнены условия существования и единственности решения задачи Коши, то для любой начальной задачи верхнее и нижнее решения совпадают.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >