ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

  • 1. Показать, что все интегральные кривые, входящие в общий интеграл однородного уравнения и не совпадающие с полупрямыми, примыкающими к началу координат, получаются друг из друга некоторым преобразованием подобия с центром в начале координат.
  • 2. Показать, что уравнение Риккати инвариантно относительно любой замены аргумента х = ф(?) и относительно дробно-линейной замены искомой функции
  • 3. Показать, что всякая интегральная кривая линейного неоднородного уравнения делит отрезок ординаты между любыми двумя интегральными кривыми того же уравнения в постоянном отношении.
  • 4. Найти кривые, обладающие следующим свойством: отрезок, отсекаемый касательной на оси Оу, равен квадрату ординаты точки касания.

5. Найти замену искомой функции, приводящую уравнение Риккати к уравнению с разделяющимися переменными.

6. Показать, что линейное уравнение и уравнение Бернулли могут быть проинтегрированы с помощью подстановки у(х) = и(х)и(х).

7. Показать, что если правая часть уравнения у' = f(x; у) удовлетворяет условию /(/Лс; №у) = P~af(x; у), то уравнение может быть проинтегрировано с помощью замены переменных вида

8. Вывести формулу для определения тангенса угла, под которым интегральная кривая однородного уравнения пересекает фиксированный луч, выходящий из начала координат.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >