ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Дифференциальные уравнения обычно используются для построения математических моделей процессов, параметры которых изменяются с течением времени. В качестве простейшего примера рассмотрим математическую модель движения автомобиля по прямолинейному шоссе, считая, что в каждый момент времени t скорость автомобиля выражается известной величиной о(?)- Если принять шоссе за ось Ох, то положение автомобиля будет определяться одной координатой х. Используя механический смысл производной, получаем дифференциальное уравнение

х = v(t).

Полученное уравнение позволяет найти закон движения автомобиля, т. е. зависимость его координаты от времени.

Искомой величиной в любом дифференциальном уравнении является функция. Также в дифференциальное уравнение входят аргумент этой функции и ее производные различных порядков. Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если оно содержит производные от искомой функции только по одной переменной. Порядком обыкновенного дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Таким образом, обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее искомую функцию, ее аргумент и первую производную от искомой функции. Такое соотношение может быть записано следующим образом:

где у(х) — искомая функция, х — ее аргумент и

Если уравнение (1) можно переписать в виде

то уравнение (2) называется уравнением, разрешенным относительно производной, или уравнением в нормальной форме.

В некоторых случаях возникает необходимость использовать уравнение

которое называется перевернутым уравнением.

Вместо двух уравнений (2) и (3) можно использовать одно уравнение, записанное в форме

Уравнение (4) содержит не производную от искомой функции, а дифференциалы этой функции от ее аргументов. Это частный случай уравнения, записанного в дифференциалах. В общем случае уравнение в дифференциалах имеет вид

В уравнения (4) и (5) переменные х и у входят равноправно. Запись уравнения в виде (5) показывает, что при решении дифференциального уравнения первого порядка любую величину х или у можно рассматривать в качестве аргумента, а другую — принять за искомую функцию.

Наконец, еще одной формой записи дифференциального уравнения первого порядка является симметрическая форма.

Уравнение в симметрической форме выглядит так:

В это уравнение переменные х и у также входят равноправно.

Перейдем к определению решения дифференциального уравнения первого порядка и формам записи решения. Будем рассматривать уравнение в виде (2) и предположим, что функция f{x; у) определена и непрерывна на некотором множестве D на плоскости переменных хну.

Решением дифференциального уравнения первого порядка (2) на интервале (а; Ь) называется функция у = ф(х), которая определена и дифференцируема во всех точках указанного интервала, удовлетворяет условию (х, ср(х)) е е D, если х е (а, Ь), и при подстановке в уравнение (2) превращает его в тождество на этом интервале. При этом решения уравнения (3) также считаются решениями уравнения (2).

Пример 1. Проверим, что функция у = е + ех является решением уравнения у' = у + е на всей вещественной оси. Действительно, данная функция определена и дифференцируема во всех точках вещественной оси и после подстановки этой функции в уравнение получается тождество, верное на всей оси

Если решение уравнения получено в виде у = ср(х), то говорят, что решение записано в явной форме. Однако решение дифференциального уравнения не всегда записывается в явной форме. Соотношение ф(х, у) = 0 называется решением уравнения (2) в неявной форме, если оно определяет у как неявную функцию х и эта функция является решением уравнения (2). Для того, чтобы убедиться, что равенство ф(х, у) = 0 — действительно неявная форма записи решения, нужно продифференцировать это соотношение полным образом по х и подставить вместо у' правую часть уравнения (2):

Если равенство нулю в формуле (7) выполнится в силу соотношения у(х, у) = 0, то действительно это решение уравнения, записанное в неявной форме.

Пример 2. Пусть дано уравнение и соотношение

х - еу = 0. Дифференцируя, как указано выше, получаем 1 - еуу' = 0. Подставляя вместо у' величину , убеждаемся, что в силу того, что х - еу = 0. Значит, равенство х - еу = 0 — неявная форма записи решения.

Решение уравнения (2) может быть записано также и в параметрической форме, т. е. в виде двух соотношений х = ср(?) и у = у(?), которые на некотором интервале дают тождество

Пример 3. Проверим, что равенства х = sin? и у = cost определяют решение уравнения на интервале

Действительно, на указанном интервале.

Если рассматривать х и у как прямоугольные координаты на плоскости, то решение уравнения (2) может быть изображено на этой плоскости в виде некоторой кривой. График решения уравнения на плоскости называется интегральной кривой уравнения (2).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >