Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow География arrow Модели и методы в проблеме взаимодействия атмосферы и гидросферы

12.4. Модель с миграцией и коалиционная устойчивость

В данном параграфе исследуется дискретная модель, в которой водоем разделен на две части, где вылов ведут игроки типа 1 (М = {1,...,и}) и типа 2 (М= {1,___,от}). Предполагаем, что между частями водоема существует мигра

ционный обмен. Таким образом, размер популяции в одном районе (где вылов ведут игроки типа 1) зависит не только от вылова и размера популяции в предыдущий момент, но и от размера популяции и вылова в другом районе (где популяцию эксплуатируют игроки типа 2). Мы считаем, что в данной модели, в отличие от модели, описанной в предыдущем парграфе, что игроки каждого типа могут формировать коалиции. Таким образом, возможно формирование двух коалиций и присутствие игроков обоих типов, играющих индивидуально. При этом предполагается два механизма формирования коалиций: 1) игроки в коалициях и индивидуальные игроки определяют свои стратегии независимо (стратегии Курно-Нэша); 2) коалиции являются лидерами, а индивидуальные игроки - ведомыми (стратегии Шгакельберга).

Для представленной модели исследованы условия внутренней и внешней устойчивости (12.13) и (12.14). К сожалению, как и в большинстве эколого- экономических моделей (Ое 2ееиу, 2008), коалиции только малой размерности здесь являются внутренне устойчивыми (для стратегий Курно-Нэша). Для стратегий Штакельберга коалиции являются скорее внутренне, чем внешне устойчивыми. Однако предложенные условия коалиционной устойчивости (12.15), (12.16) дают возможность формирования устойчивых коалиций большой размерности.

Итак, предполагаем, что популяция развивается в соответствии с биологическим законом

где X' > 0 - размер популяции в первом районе в момент времени (; г, > 0 - размер популяции во втором районе в момент времени /; а, - коэффициенты внутреннего роста, 0 ( < 1; Д - коэффициенты миграции, 0 < Д < 1, г =

1,2. Пусть N = {1,...,/?} игроков эксплуатируют популяцию х(, М = {1,...,/и} игроков - популяцию у1. Функции выигрышей игроков имеют логарифмический вид. Рассматриваются задачи максимизации бесконечных сумм дисконтированных выигрышей игроков

где ии,х>.( > 0 - выловы игроков в момент времени 1, 0 < 8 < 1 - коэффициент дисконтирования.

Таким образом, динамика с учетом вылова приобретает вид

Для упрощения формул в дальнейшем будем использовать следующие обозначения:

Начнем рассмотрение с некооперативного случая и найдем равновесие по

Нэшу.

Теорема 8. Оптимальные по Нэшу стратегии игроков в задаче (12.47), (12.48) имеют вид

где

Доказательство. Для доказательства, как и ранее, используем принцип динамического программирования. Предполагаем, что стратегии игроков линейно зависят от размеров популяций. Так как все игроки одного тина одинаковы, то и1 = ухх, /еТУ, и у^ф'^у, /еМ. Функции Веллмана ищем в следующем виде:

Оптимальные стратегии и параметры находим из уравнений

Получим оптимальные выловы вида (12.49) и следующие параметры для функций Веллмана:

Аналогично рассмотрим случай полной кооперации (формирование гранд-коалиции). При этом игроки максимизируют суммарный дисконтированный выигрыш

Теорема 9. Оптимальные кооперативные стратегии игроков в задаче (12.48), (12.51) имеют вид где

При этом выигрыш имеет вид

Лемма 4. Выигрыш игроков при формировании коалиции больше, чем в равновесии по Нэшу.

Доказательство. Сравним выигрыш гранд-коалиции и сумму выигрышей игроков в некооперативном случае

где

Несложно показать, что функция g возрастает по д, и г2. Поэтому рассмотрим

Выражение в квадратных скобках положительное, так как оно имеет вид

а второй предел равен оо . Аналогично проверяем, что

Следовательно, функция g неотрицательна, а это значит, что выигрыш гранд-коалиции больше, чем сумма выигрышей в некооперативном случае.

Лемма 5. Состояние популяций лучше при кооперативном поведении игроков, чем в равновесии по Нэшу.

Доказательство. В некооперативном случае динамика развития популяций приобретает вид

а в случае полной кооперации

При этом

Следовательно, размер популяций в обоих районах больше в кооперативном случае.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы