Турбулентное взаимодействие атмосферы с подстилающей поверхностью

Каскад энергии в сторону длинных волн определяется процессами ее диссипации в турбулентном пограничном слое атмосферы, что обусловливает особые требования к правильному его описанию в крупномасштабных (в частности, климатических) моделях (Dymnikov, Filatov, 1996). Пограничный слой, располагающийся вблизи поверхности Земли и имеющий характерный вертикальный размер ~ 1 км, является ключевым звеном климатической системы. В этом слое обеспечивается: 1) преобразование энергии солнечной радиации, поглощенной подстилающей поверхностью, в энергию крупномасштабных движений в атмосфере и океане (с помощью турбулентного переноса); 2) тепловлагоперенос в системе «растительность - (снег, лед) - (водоем) - грунт»; 3) контроль уровня диссипации кинетической энергии всей климатической системы. Важно также то, что пограничный слой - это среда обитания человека, не только непосредственно воздействующая на его жизнедеятельность, но и сама зависящая от результатов этой деятельности.

Как уже отмечалось выше, математические модели общей и региональной циркуляции атмосферы развиваются по пути повышения пространственного разрешения и воспроизводят все больший диапазон мелкомасштабной динамики явным образом, однако турбулентность в пограничном слое атмосферы остается одним из определяющих атмосферных процессов, который должен быть параметризован. При этом требования к точности параметризаций возрастают по мере детализации описания крупномасштабной динамики. Результаты вихреразрешающего моделирования восполняют недостаток данных наблюдений в пограничном слое и шрают важную роль в развитии методов математического моделирования природно-климатических процессов. Поскольку модели региональной циркуляции атмосферы но пространственному разрешению становятся все ближе к вихреразрешающим, то можно ожидать, что подходы, развитые при построении последних, со временем напрямую будут применяться в задачах прогноза погоды и моделирования климата.

В зависимости от характерного масштаба когерентных структур / и размера пространственного фильтра (шага сетки, например) Д существующие методы параметризации пограничного слоя атмосферы над горизонтально неоднородной подстилающей поверхностью можно отнести к двум широким классам ( Wyngaard, 2004). Если / / А « 1, то в таких моделях явно воспроизводятся лишь средние характеристики турбулентных течений, а в качестве параметризаций применяются одномерные (по вертикали) подходы. Нелокальные эффекты, обусловленные наличием когерентных структур, описываются с помощью дополнительных процедур (например, учет противоградиентной поправки, конвективное согласование и др.). Если / / Д » 1, то эффективным оказывается рассмотренный выше метод вихреразрешающего моделирования, в котором когерентные структуры (крупные вихри) воспроизводятся явно и лишь мелкомасштабная турбулентность должна быть параметризована. В моделях же, для которых / / Д — 1, крупные вихри воспроизводятся лишь частично: некоторые из них попадают в подсеточный интервал. Такую ситуацию принято называть «серой зоной» пространственного разрешения в описании физических процессов в численных моделях атмосферной циркуляции (Shin, Hong, 2013).

Во многих приложениях часто требуется лишь знание о важнейших интегральных параметрах турбулентных течений, таких, например, как профиль скорости, расход жидкости (или газа) и закон сопротивления. В то же время богатый экспериментальный материал, накопленный при лабораторном изучении течений в круглых трубах и в пограничном слое на плоской пластинке, позволяет не только получить эту информацию, но и является эталоном для проверки различных теорий и гипотез о природе турбулентности. Уравнения Навье-Стокса являются подходящим математическим аппаратом для моделирования турбулентных течений. Проблема, однако, состоит в том, что невозможно предсказать в деталях движение каждого вихря, но можно попытаться описать эволюцию осредненного течения и некоторых других статистических характеристик.

Впервые такого рода общие соображения, относящиеся к произвольным турбулентным течениям и лежащие в основе всей теории турбулентности, были высказаны Рейнольдсом (1894). Вместе с тем обычное («житейское») определение турбулентных течений как течений, сопровождающихся беспорядочными пульсациями всех гидродинамических величин, недостаточно для построения математической теории турбулентности. С позиций такой теории турбулентными являются лишь такие течения, для которых существует статистический ансамбль аналогичных течений с некоторым определенным распределением вероятности для значений всевозможных гидродинамических полей. На практике (измерений и модельных расчетов) обычно используются не средние по ансамблю, а временные или пространственные средние, поэтому также следует требовать, чтобы случайные поля гидродинамических величин удовлетворяли условиям эргодической теоремы.

Самыми простыми статистическими характеристиками случайных гидродинамических нолей являются их средние значения. Разности «' = и. - гг между индивидуальными значениями поля какой-либо компоненты скорости г/. (/ = 1, 2, 3) и его средним значением й₁ представляют собой пульсации этого поля. Возможность разложения гидродинамических нолей на их средние значения и пульсации является основным постулатом теории Рейнольдса. Средние значения гидродинамических полей обычно оказываются весьма гладкими и медленно меняющимися. Пульсации же, наоборот, характеризуются большой изменчивостью во времени и в пространстве. Минимальные масштабы и периоды турбулентных пульсаций на несколько порядков превосходят масштабы и периоды молекулярных движений. Так, например, размеры наименьших неоднородностей, наблюдающихся в воздушных и водных турбулентных потоках, имеют порядок нескольких миллиметров или, в крайнем случае, десятых долей миллиметра, а в нормальных условиях длина свободного пробега молекул воздуха имеет порядок 10 ⁴ мм, молекул воды - намного меньший порядок. Более того, скорости гидродинамических потоков по порядку величины не превосходят средней скорости теплового движения молекул (близкой к 500 м/с), и потому характерные периоды турбулентных пульсаций на несколько порядков превосходят среднее время между молекулярными столкновениями. Это означает, что на пространственно-временных масштабах, сравнимых с размерами минимальных неоднородностей и минимальными периодами пульсаций, турбулентные течения могут быть описаны с помощью дифференциальных уравнений гидродинамики.

Поскольку индивидуальные реализации гидродинамических полей турбулентного потока удовлетворяют определенным дифференциальным уравнениям, то их статистические характеристики оказываются связанными рядом важных соотношений, которые впервые были установлены Рейнольдсом с помощью непосредственного осреднения уравнений Навье-Сгокса гидродинамики несжимаемой жидкости постоянной плотности. Уравнения Рейнольдса позволяют сформулировать выводы о наличии связей между различными статистическими характеристиками турбулентности, но при их интегрировании возникают трудности, обусловленные проблемой замыкания и связанные с необходимостью параметризации, например, вторых моментов (подробнее об этом см.: (Лыкосов и др., 2012)). При отыскании решений этих уравнений, имеющих физический смысл, приходится задавать некоторую дополнительную информацию, например, в виде каких-то функций, описывающих свойства турбулентности. В некоторых случаях вид таких функций может быть найден исходя из соображений теории размерности и данных экспериментов. Теории турбулентности, в которых наряду со строгими уравнениями гидромеханики используются также дополнительные эмпирические связи, установленные по экспериментальным данным или же выведенные с помощью качественных рассуждений и проверенные на опыте, называются полуэмгшрическими (Монин, Яглом, 1965). Хотя такого рода построения не являются строгими, они сыграли большую роль в развитии представлений о турбулентных течениях и до сих пор используются в исследованиях по турбулентности.

Наиболее простым является замыкание (в рамках так называемой /6-теории), базирующееся на гипотезе Буссинеска (1877), согласно которой

где ф - любая скалярная величина или компонента скорости, а К_ф — новая величина размерности м²/с, называемая коэффициентом турбулентной диффузии (для скаляра) или турбулентной вязкости (для скорости). В отличие от молекулярных коэффициентов диффузии и вязкости коэффициенты К_ф характеризуют

не физические свойства жидкости, а статистические свойства пульсационного движения и потому не являются постоянными величинами, а могут меняться в пространстве и времени и даже принимать отрицательные значения. Последнее обстоятельство резко усложняет математическое моделирование турбулентных процессов в связи с возникающей при этом необходимостью решать некорректную (по Адамару) задачу, и потому, как правило, считают, что коэффициенты К_ф являются неотрицательными величинами. Важно также и то, что значения этих коэффициентов во многих случаях существенно (на несколько порядков) превосходят их молекулярные аналоги.