9.1. Одномерная модель поверхностных волн

Рассматривается периодические, одномерные (т.е. в плоскости х-г) волны на основе первичных уравнениях в потенциальном приближении. Благодаря периодичности, конформное преобразование может быть представлено рядом Фурье

где х и г - декартовы координаты; ? и С, - конформные, следующие поверхности, координаты, г - время, г/к - коэффициенты разложения Фурье для свободной поверхности г) (?, г), рассчитанные в координате ?:

Здесь использовано стандартное для Фурье-сеточного метода обозначение для базисных функций 9к :

а М— предельное волновое число.

Нетрадиционное представления (9.3) и (9.4) в действительности более удобно, чем комплексное, для оперирования в области действительных чисел,

поскольку (9к )г = к9_к и 'УАк9к): = —'У'кА_к9к . Фурье-коэффициенты Ак образуют массив А(—М:М), что упрощает программирование на Фортране высокого уровня. Заметим, что определение обеих координат ?и С, основано на коэффициентах Фурье для свободной поверхности. Из (9.1) и (9.2) следует, что производные по времени 2т и хт связаны между собой следующим образом:

Благодаря конформности, уравнение Лапласа в (<%,?) -координатах сохраняет свою форму. В работах (СЬайкоу, БЬещщ, 1996, 1998) показано, что полные двумерные уравнения потенциальных волн могут быть представлены в виде

где соотношения (9.7)-(9.9) относятся к поверхности ^ = 0 (так что г = I], как следует из (9.1)),./ - якобиан преобразования:

Производные и ? связаны между собой преобразованием Гильберта, которое в Фурье-иространсгве имеет простой вид:

где индексы подразумевают Фурье-амплитуды с соответствующим номером.

Уравнения (9.6)-(9.9) выписаны в безразмерной форме с использованием масштабов длины Г (где 2л/, - размерная длина области), времени V 2g~' 2 и потенциала скорости L3'2g~ll2{g - ускорение силы тяжести). В принципе, капиллярность может быть легко принята во внимание, однако для одновременного моделирования ветровых и капиллярных волн требуется чрезмерно большое число мод. Заметное влияние капиллярных волн на процесс роста ветровых волн в океане, упоминаемое в публикациях, принадлежит к числу распространенных фантазий.

Граничное условие на нижней границе предполагает затухание вертикальной скорости

Решение уравнения Лапласа (9.6) с фаничными условиями (9.12) имеет

вид

где фк - Фурье-коэффициенты потенциала скорости на поверхности Ф(4,С -0, г). Уравнения (9.6)-(9.9) образуют замкнутую систему прогностических уравнений для формы поверхности = 0, г) = г/(^, г) и поверх

ностного потенциала Ф(?,? = 0, г).

Интегрирование по времени проводилось по схеме Рунге-Кутты четвертого порядка, причем шаг но времени выбирался эмпирически. Например, для М= 100 шаг А г равен 0,01; для М = 1 000 он принимался равным 0,002. При повышении локальной крутизны и кривизны поверхности часто требовался меньший шаг по времени, поэтому в последних версиях программы часто применялся динамический выбор шага. Специфической проблемой, возникающей при использовании криволинейных координат, является интерполяция решения в декартовы координаты и обратно. Для этих целей использовалась периодическая сплайн-интерполяция высокого порядка, которая обеспечивала высочайшую точность.

Важнейшей проблемой является проверка численной схемы и модели в целом. Волновая модель обеспечивает редкую возможность сравнения полной модели с точным решением для волн Стокса. Это сравнение было проведено в (СЬаНкоу, БЬетт, 1996, 1998) и более подробно в (СЬаНкоу, 2005). Распространение очень крутых волн Стокса (ак = 0,42) воспроизводилось в течение 686 500 временных шагов до 932 периодов. При этом полная энергия уменьшилась всего на 3- КГ8%. Аналогичные расчеты, проведенные также для ак = 0,42 в (Эок!, 1992), прервались вычислительной неустойчивостью уже через несколько периодов. Точная фазовая скорость для волн Стокса такой крутизны равна 1,089578. Прямые расчеты скорости продвижения волн Стокса, воспроизведенной моделью, дало значение 1,089579 ±10 ''. Заметим, что проверка модели путем сравнения с волнами Стокса является полной и нетривиальной, поскольку начальные условия для стационарной волны Стокса рассчитывались независимо, по другой схеме, специально разработанной для стационарных решений для гравитационно-капиллярных волн в наших ранних публикациях (см. подробное описание алгоритма в (8Иешт, СЬаНкоу, 2002)).

Аналогичные процедуры сравнения были проведены для гравитационнокапиллярных волн и капиллярных волн. Для расчета капиллярных волн использовалось аналитическое решение (Сгаррег, 1957, 1984). Типичная точность модели оказалась порядка 10“'. Это не удивительно, поскольку волновая модель после трансформации в конформные координаты превратилась в два одномерных дифференциальных уравнения, которые могут решаться очень точно Фурье-сеточным методом, если выбрана точная схема интегрирования по времени. Высокая точность схемы необходима для сохранения инвариантов (массы, суммы потенциальной и кинетической энергий, горизонтального импульса). Отношения временных масштабов для притока энергии к характерным периодам волн составляет порядка 10“, так что индивидуально описываемые волны являются почти адиабатическим процессом.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >