Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow География arrow Модели и методы в проблеме взаимодействия атмосферы и гидросферы

Метод анализа данных с помощью сингулярного разложении ковариационной матрицы данных (SVD-анализ)

Предположим, мы имеем дискретные временные ряды полей двух видов данных А и В одной и той же длины Г, заданных на своих пространственных сетках. Если перенумеровать произвольным образом узлы этих пространственных сеток, то данные можно представить в виде прямоугольных матриц А и В размерностью N4 х Ь и Nв х Ь соответственно, где МЛ и /9Й - количество пространственных узлов соответствующих полей. Вектор-столбцы матриц А и В

определяют фазовые портреты изменчивости во времени исходных данных в NА- и Л^в-мерных пространствах. Имея матрицы А и В, можно построить ковариационную матрицу С-АВ1 размера Nл х Nв.

Поскольку для любой прямоугольной матрицы существует сингулярное разложение (см., например, (Воеводин, Кузнецов, 1984)), ковариационную матрицу можно представить в следующем виде: С = и АУ1, где Л - прямоугольная диагональная матрица размерности Nл х Nв с элементами

Л, > А, > ...> Лт-т(^ Ме) > 0; столбцы левой матрицы и образуют ортонормиро-

ванный сингулярный базис из собственных векторов матрицы СС' для данных А, а столбцы правой матрицы V - ортонормированный сингулярный базис из собственных векторов матрицы С7 С для данных В, причем СУ —и А и С1 и = V А1 . Таким образом, сингулярное разложение ковариационной матрицы (БУЭ-разложение) задает для полей данных А и В согласованные между собой ортонормированные базисы. Обозначим через и^,...,ин и векто

ры этих базисов. Проекция фазовой траектории на соответствующие базисные векторы определяет изменчивость исходного поля, приходящуюся на направление (или пространственную конфигурацию), задаваемую каждым из базисных векторов. Эти проекции будут представлять собой не что иное, как коэффициенты Фурье разложения по базисным векторам:

где ат и Д, - вектор-строки длиной Ь, коэффициенты которых а'т и Д7 представляют собой проекции в момент времени /.

Используя ортонормированносгь сингулярных базисов и диагональную структуру матрицы А, легко показать, что ковариация между ост и Д( может быть выражена следующим образом:

где 8пт - символ Кронекера. Таким образом, ковариация по времени между коэффициентами Фурье разложений полей А и В по векторам базисов и и V отлична от нуля только для одинаковых по номеру векторов и в точности равна сингулярному числу матрицы С с соответствующим номером. Более того, в работе (Дымников, Филин, 1985) показано, что попарные ковариации между коэффициенгами Фурье разложения полей А и В по векторам произвольных орто- нормированных базисов принимают свои максимальные значения, если в качестве базисов выбраны и и V. Совокупности базисных векторов ип и Уп с их

коэффициентами Фурье ап и п образуют для данных А и В связанные пространственно-временные конфигурации, задаваемые матрицами Ап — ипап и Вп — ’п{1п. Пару Ап и Вп будем называть модой БУО с номером п.

На основании свойства (6.5) для каждой моды БУЭ можно ввести понятие относительного ковариационного вклада (КВ) этой моды в общую ковариацию:

Связь между пространственно-временными конфигурациями «-й моды БУЭ можно характеризовать через коэффициент корреляции по времени между ап и (5п. Чтобы оценить значимость конфигураций,

удобно вычислять относительные вклады в дисперсию, которые они делают в полную изменчивость своих полей. Эти вклады могут быть выражены как &р(АаАТа) I ) для данных А и $р(ВпВ1п) I $>р(ВВ') для данных В, где

функция зр означает след матрицы. Следует заметить, что сингулярное разложение прямоугольной матрицы А или В есть не что иное, как разложение по естественным ортогональным составляющим, где левая система сингулярных векторов будет представлять пространственные составляющие, а правая - временные коэффициенты разложения по этим векторам.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы