Метод наименьших квадратов.
Предположим, что из наблюдений известен А-мерный вектор у, связанный линейно с /7-мерным вектором х, характеризующим состояние некоторой физической системы. Предполагается, что к > п и ошибка наблюдений характеризуется вектором в , так что
где известная априори матрица А имеет к строк и /? столбцов. Предполагается также, что вектор ошибки е имеет нулевое математическое ожидание и характеризуется ковариационной матрицей А) ранга п.
Метод наименьших квадратов используется для нахождения оптимальной оценки х вектора состояния посредством минимизации квадратичной формы (Худсон, 1970):
I
где у — Ах , а индекс Т означает транспонирование. Находя минимум квадратичной формы (5.8) обычным дифференцированием по компонентам оценки вектора состояния системы, получим окончательно
где В = Ат?)-1 А .
Выпишем также соотношения для оценки вектора состояния в случае, когда на его компоненты наложены дополнительные линейные связи, т.е. в том случае, когда вектор х должен удовлетвопять упавнениям
где матрица М имеет т строк и п столбцов. В этом случае оценка вектора состояния находится и условия минимизации следующей формы:
где вектор Л является лагранжевым множителем. Минимум выражения (5.11) достигается при
и
Легко убедиться, что выражение (5.13) удовлетворяет уравнению (5.10).
