Математическая модель гидродинамики океана ИВМ РАН и численный алгоритм ее решения на основе метода расщепления

Сформулируем уравнения модели крупномасштабной гидродинамики океана в системе координат с приведенной глубиной а = ———. После тради-

н~С

ционных упрощений уравнения можно записать в следующем виде (Zalesny, 2005; Zalesny, Gusev, 2009). Имеем

Здесь

и' - вертикальная скорость в обычной 2-системе координат. Оператор турбулентного обмена Л имеет вид

В последнем слагаемом в операторе диффузии (4.41) учтена зависимость коэффициента диффузии у от вертикальной стратификации потенциальной плотности р . Она введена для того, чтобы исключить случаи инверсии потенциальной плотности по вертикали и обеспечить всюду в области выполнение условия

Система уравнений (4.32)-(4.39) рассматривается в трехмерной многосвязной области ? единичной высоты с элементарным объемом сИ. = 11 ({хс1ус1ст.

В системе (4.32)-(4.39) одинаковыми цифрами внизу отмечены энергетически нейтральные слагаемые. Поступим следующим образом. Пренебрежем всеми диффузионными слагаемыми (Л = 0) и положим р = р . Вместо

двух уравнений для температуры и солености запишем уравнение для потенциальной плотности. Умножим полученные уравнения соответственно на р₀и, р₀у, со, р , — gZ и проинтегрируем уравнения по всей трехмерной области Е, учитывая кинематические граничные условия. Видно, что энергетически нейтральные слагаемые попарно уничтожаются и выполняется энергетическое соотношение

где Х₀ - проекция 21 на плоскость <т = 0. Если р_мт не зависит от времени, то из (4.44) следует закон сохранения полной энергии

Симметризация системы уравнений, граничные и начальные условия.

Перепишем уравнения (4.32)-(4.39) в симмегризованной форме. Имеем

Отметим, что здесь и далее оператор турбулентного обмена моментом Л_|( в (4.46), (4.47) выбран в более простом виде, все смешанные производные по координатам х, о и у, а опущены.

Граничные и начальные условия в новых переменных для системы уравнений (4.46)-(4.51) можно сформулировать следующим образом. На свободной поверхности океана (а = 0):

На дне (а = 1):

На цилиндрической береговой поверхности I:

Здесь

п - модифицированный вектор нормали в новой системе координат. Например,

Начальные условия для задачи (4.46) - (4.55) имеют вид

Замечание. При проведении численных экспериментов в модели используются специальные параметризации подсеточных процессов, описанные в (Marchuk et al., 2005). Основными являются: параметризация турбулентной вязкости, глубокой конвекции и горизонтального турбулентного обмена 4-го порядка.

Численный алгоритм решения прямой задачи. Основные этапы - модули многокомпонентного расщепления. Решение системы уравнений (4.46)-(4.56) производится с помощью метода многокомпонентного расщепления (Марчук, 1989; Marchuk et ah, 2005). На отдельном этапе расщепления решается более простая система уравнений по сравнению с исходной системой. Вычисленное на текущем этапе решение используется как начальное условие при решении последующего этапа. Внутри отдельного этапа задача также может расщепляться на ряд более простых подзадач. Расщепление задач может осуществляться различным образом: на основе выделения разных физических процессов и параме тризаций, разделения по отдельным пространственным плоскостям, координатам и т.д.

Основная (внешняя) процедура решения системы на каждом временном интервале t J+l включает ряд модулей, среди которых: 1) расчет атмосферного воздействия; 2) термодинамика морского льда и расчет суммарных потоков тепла и соли; 3) параметризация вертикального турбулентного перемешивания, вычисляющая по начальным полям температуры и солености поля плотности, а также коэффициенты вертикального обмена моментом v_u, теплом др

и солью v = v(——); 4) расчет плотности р = p(T,S,Z); 5) перенос-диффузия 8и

полей температуры и солености - решение уравнений (4.50), (4.51), в ходе которого производится расщепление по координатным плоскостям [х,ст), (у,ег)

и координате <т; 6) расчет придонного трения и этапа сферического вращения для уравнений импульса:

7) этап переноса-диффузии полей компонент скорости:

внутри которого производится расщепление по отдельным координатам х, у, а

8) адаптация течений к полю плотности, описываемая уравнениями

Решение уравнений адаптации осуществляется при известном ноле плотности, рассчитанном на предыдущем этапе. Искомыми функциями здесь являются компоненты вектора скорости и , V, со и уровень моря С, . Уровень моря

есть функция, независящая от вертикальной координаты а . Это позволяет внутри этапа адаптации выделить задачу расчета уровня и средних по вертикали компонент скорости. Решение этой задачи осуществляется с помощью отдельного девятого модуля расчета уровня моря:

Выделенные с помощью метода расщепления основные расчетные модули описываются системами дифференциальных уравнений в частных производных и дополняются соответствующими граничными и начальными условиями. В дальнейшем, в зависимости от выбора конкретной постановки задачи, выделенные подсистемы могут также расщепляться на более простые. Например, модуль переноса-диффузии полей температуры и солености может вторично расщепляться по отдельным координатам. В качестве метода аппроксимации выделенных подсистем по пространственным переменным выбирается метод конечных разностей на сетках с переменным шагом по отдельным координатам. Уравнения модели аппроксимируются на сдвинутых сетках (Лебедев, 1964).