МЕТОД ОБЩЕЙ КОРРЕЛЯЦИИ

Под названием метод общей корреляции мы имеем в виду построение векторной линейной авторегрессии по всем данным, имеющим отношение к обменному курсу. Оно более сложно в алгоритмическом плане, чем прямой непосредственный анализ скалярных временных рядов, но зато объединение макроэкономических параметров в одной системе создает возможность проявления более тонких экономических влияний одних данных на другие.

Рассмотрим вектор, состоящий из семи макроэкономических параметров: ВВП США, процентная ставка США, индекс цен на потребительские товары США, ВВП Италии, процентная ставка в Италии, индекс стоимости жизни в Италии, курсовая стоимость лиры в долларах:

где k = 1, 24. Наша задача состоит в получении последнего элемента вектора Хзв и среднего интегрального от второго элемента вектора Хк, k = 25, ..., 36 по значениям Хк, k= 1, ..., 24. Этих приближений достаточно, чтобы вычислить цену форвардного контракта по формуле (120). Модель строится в виде линейной разностной системы как простейшей формы зависимости:

Матрица А и вектор В могут быть найдены с помощью метода наименьших квадратов и функционала:

Как было описано в параграфе 2.3, функционал (126) достигает своего минимума при следующих значениях параметров:

где верхний индекс «+» означает псевдообратную матрицу.

Ниже мы повторим некоторые формулы, полученные во второй главе. Обозначая (8 х 23)-матрицу:

получим ее скелетное разложение на произведение двух других матриц, размерами 8 х г и г х 23:

где г = rank D. Чтобы получить скелетное разложение, достаточно в качестве столбцов матрицы G взять любые г линейно не зависимые столбцы матрицы D. В этом случае любой столбец матрицы D является линейной комбинацией столбцов матрицы G с коэффициентами hXr Л2/-,..., hrj. Эти коэффициенты составляют соответствующий столбец матрицы Н.

Следующая формула в указанных обозначениях является основной для алгоритма вычисления неизвестных параметров системы (125):

Однако решение системы (125) определяется некоторым вектором начальных данных и сейчас возникает проблема, какой из векторов мог бы претендовать на роль начального. Это мог бы быть последний вектор наблюдений, или первый, или средний в каком-либо смысле. Но в нашей задаче все векторы X* имеют случайные элементы, поэтому не остается никаких оснований выбирать начальный вектор из множества идентификации. Это наталкивает на мысль продолжить оптимизацию среднеквадратичных отклонений при фиксированных А, В и неизвестном начальном векторе Z.

Частное решение системы (125) записывается в форме

где Z — начальный вектор, и функционал отклонений на этом решении примет вид:

Все члены внутри скобок, не зависящие от Z, обозначим как У. Тогда наименьшее значение функционала достигается при

Теперь алгоритм готов к использованию.

Прокомментируем результат предлагаемого моделирования на примере трехлетнего набора данных, начиная с 01.01.76. Все данные были трансформированы так, чтобы в вычислениях участвовали величины одного с единицей порядка:

Здесь обозначения соответствуют аббревиатуре английских названий рассматриваемых переменных, индекс обозначает страну.

После идентификации модели (125) была получена следующая разностная система (значения коэффициентов округлялись):

Оптимальное значение начального вектора для этого примера имеет вид:

Подставляя элементы начального вектора в полученную разностную систему, можно оценить вклад каждого фактора в изменение соответствующих переменных на каждом шаге.

Ga — реальный ВВП США имеет сильное влияние на все другие переменные, но в то же самое время его собственное изменение в наибольшей степени зависит только от него самого. Это вполне вероятно, так как ВВП США в двадцать раз превосходит ВВП Италии и к тому же экономика США разнообразна и самодостаточна настолько, чтобы небольшие изменения деловой активности и потребления не влияли существенно на изменение ВВП. Зависимость других промышленноразвитых стран от ВВП США объясняется большой политической и экономической зависимостью, что можно условно назвать зоной влияния доллара. Если, скажем, правительство США решит изъять из обращения часть долларовой массы с помощью увеличения процентной ставки, то это затронет не только американцев, но и всех, кто использует доллары в экономической деятельности, т. е. все рассматриваемые страны.

Ra — процент выплат по государственным казначейским облигациям определяет спрос на деньги внутри США. Так как доллар в известном смысле является сильной мировой валютой, то большое число долларов участвует в мировой экономике. Поэтому RA, Gj, GA в большой степени зависят от Ra.

СА — эта переменная, связанная инфляционными процессами в Америке, зависит в большей степени от себя самой и ВВП США.

G1 — оказывается (согласно модели), что на изменение ВВП Италии наибольшее влияние создается самим ВВП Италии, а также ВВП США и процентной ставкой США (т. е. спросом на деньги с США).

Rj — эта переменная очень сильно зависит от ВВП США, ВВП Италии и обменного курса лиры и доллара.

С/ — здесь удивительный факт: индекс жизненного уровня в Италии в большей степени зависит от экономики Америки, т. е. от L, Ga, Ra, и в меньшей степени от ВВП Италии. Возможно, что инфляционные ожидания итальянских потребителей чутко реагируют на изменения мировой (и, в особенности, американской) экономики, поскольку собственные макропараметры имеют поведение с большими отклонениями от среднего уровня, т. е. неустойчивое в широком понимании этого слова.

L — обменный курс (точнее, после преобразований, сделанных выше, стоимость 1000 лир в долларах США) также сильно связан с GA и RA, но в меньшей степени с G] и R/.

Результаты, полученные с использованием метода общей корреляции, представлены на рисунках 28 и 29.

Рис. 28

Модель общей корреляции переменных. Результат для процентной ставки США

Рис. 29

Модель общей корреляции переменных. Результат для стоимости 1 доллара США в лирах

Эти графики отражают способность метода общей корреляции автоматически выявить иерархические зависимости между макропараметрами и их общее влияние на обменный курс.

Давайте проверим по критерию FPC, как этот метод соотносится с прямым моделированием временных рядов, которое рассмотрено в предыдущем разделе. Используя весь набор данных, получим среднюю ошибку прогноза FPC = 0,00015. Это почти совпадает с двухчастотным экстраполированием. Результат в данном случае был предсказуем, так как разностная система седьмого порядка имеет характеристическое уравнение седьмого порядка, и, следовательно, динамика решения может описываться, в лучшем случае, трехчастотными колебаниями (т. е. более разнообразный класс функций, чем при прямой экстраполяции). Но объединение семи экономических переменных в одну систему потребовало потратить появившиеся свободы выбора на удовлетворение особенностей всех переменных. Так, оба ВВП имеют монотонно возрастающие составляющие, в то время как остальные переменные регулируются правительствами (и центральными банками) с целью удержания в определенных пределах. Появление двух монотонных составляющих у решения системы (125) влечет существование только двух пар комплексно-сопряженных корней соответствующего характеристического уравнения седьмой степени, т. е. существование только двухчастотных колебаний.

Возможно некоторое улучшение процедуры моделирования в смысле оптимизации преобразований переменных, сделанных выше. Это обусловливается тем, что задачи большой размерности могут иметь чисто вычислительные проблемы. В качестве функционала такой оптимизации можно предложить сумму отклонений модулей корней матрицы Л системы (125) от единицы. Фактически данные в рассматриваемых нами задачах таковы, что линейные вычислительные процедуры не являются жесткими. Можно предположить, что распространение соответствующих оптимальных преобразований на другие валюты (фунты и марки) невозможно и, следовательно, необходимо подстраивать алгоритм под разные валюты.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >