ИЗМЕНЕНИЕ КАЧЕСТВЕННОГО ПОВЕДЕНИЯ МОДЕЛИ ПРИ УВЕЛИЧЕНИИ ЗАПАЗДЫВАНИЯ

Как было только что показано, для линейных систем характерно ухудшение устойчивости при увеличении запаздывания (Приложение 1), и так как для систем с последействием в общем случае имеют место теоремы об устойчивости по первому приближению (Приложение 1), то локально это всегда будет верно. Но нелинейные системы в удалении от стационарных точек могут проявить другие свойства. Рассмотрим на скалярном примере модели Лот- ки-Вольтерры, как изменяется качественное поведение решения при увеличении запаздывания.

Сначала преобразуем скалярное логистическое уравнение, которое явилось прототипом рассматриваемой модели, к самому простому виду. А именно, уравнение

где а, Ъ > 0, заменой времени t = hs и заменой масштаба измерения х = у/b приведем к виду:

Или в интегральной форме, которая более удобна для вычислительных процедур, последнее уравнение принимает вид:

Мы можем положить а = 1 без потери общности, и тогда справедливы следующие заключения [8]:

  • ? у = 1 — положение равновесия уравнения (100);
  • ? если решение дольше чем единицу времени находится ниже положения равновесия, то у возрастает;
  • ? если решение дольше чем единицу времени находится выше 1, то у убывает;
  • ? так как за единицу времени решение не может вырасти больше чем в eh раз, то величина у(0)eh и ограничивает решение сверху;
  • ? локально, в некоторой окрестности 1, решение, как уже упоминалось ранее, асимптотически стремится к положению равновесия при h < л/2, если же h > л/2, то у — 1 будет неустойчиво по Ляпунову. Вычислительные процедуры показывают, что при малых h асимптотическая устойчивость будет глобальной в положительной области начальных данных, а при h > л/2 будут возникать периодические колебания вокруг нетривиального положения равновесия, которые будут к тому же глобально притягивающими.

Рис. 11

Решение скалярного логистического уравнения с запаздыванием, немного большим, чем критическое

Рис. 12

Запаздывание существенно больше критического

Рис. 13

Запаздывание вдвое превосходит критическое

Вид этих колебаний при возрастании запаздывания h изображен на рисунках ниже. Рисунок 11 соответствует h = 1,бипохож на синусоидальное колебание,новнем уже заметна тенденция, которая на рисунках 12 и 13 проявляется со всей очевидностью.

Нижняя часть колебания вытягивается горизонтально, а верхняя — вертикально.

При этом площади отрицательной и положительной частей по отношению к положению равновесия остаются равными. Действительно, раз мы говорим о периодических решениях, то к равенству (100) добавим равенство y(s + Т) = t/(s) для любого s и периода Т. Тогда из (100) следует:

или после преобразований

что и означает равенство соответствующих частей. Также с помощью вычислений на компьютере можно получить зависимость максимальной амплитуды и периода от величины запаздывания h. На рисунке 14 приведена такая зависимость.

Рис. 14

Зависимость периода и амплитуды стабильного колебания при возрастании запаздывания

Здесь ось абсцисс соответствует величине запаздывания, сплошная линия — график периода и пунктирная линия — график амплитуды.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >