ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ

Определим понятие экстраполяции в простейшем случае скалярной функции скалярного аргумента, полагая, что обобщение на произвольные операторы может быть получено без особого труда.

Определение. Пусть функция ср(х) задана на промежутке [a, ft], а функция f(x) — на промежутке [а, [$] з [а, Ь]. Если f(x) = ф(х) на [а, Ь~ и на функцию f(x) распространяется какое-либо качественное свойство функции ср, то f(x) называется экстраполирующей функцией по отношению к ф(д:), а процесс построения f(x) называется экстраполяцией.

Рассмотрим теперь некоторый процесс, т. е. вектор переменных состояния системы, изменяющийся во времени: X(t), t е [fj, <2].

Определение. Прогнозом называется экстраполяция X(t) при t > t-i по информации на промежутке [tz-

Заметим, что экстраполяция осуществляется по данной функции ф(х), где х е [а, Ь], и не требуется выяснения, почему здесь получилась такая функция ф(х). В этом смысле экстраполяция является локальной математической моделью. Теперь перейдем к описанию некоторых способов прогнозирования.

Сначала остановимся на сохранении свойств гладкости. Пусть функция ср(х) на промежутке [а, Ь] п раз непрерывно дифференцируема. Тогда и f(x) на [а, 6] п раз непрерывно дифференцируема. Потребуем сохранения этого свойства на промежутке [6, р]. Из высказанных выше предположений допустимо представление функции f(x) в окрестности х = Ъ:

где % е (Ь,х), х е [Ь, р].

В силу определения экстраполяции w(fe) = /*А)(й) при й = О, 1, ..., п — 1. Следовательно,

Оценить погрешность такого приближения невозможно, так как неизвестна /<")(^)- Однако ясно, что при увеличении п и уменьшении х - b погрешность приближения уменьшается.

Последняя формула может оказаться полезной, только если известно аналитическое представление функции ф(лс), так как в этом случае можно выписать ср(А,(;с). Если же ср(х) задается на [а, Ь] неточно или при помощи таблицы, то возникает независимая задача интерполяции на [а, Ь].

В общем случае интерполяционный полином можно записать в форме Лагранжа [10]:

где у, — значения функции в узлах х, при i = 0, 1, ..., т. Если экстраполяция осуществляется полиномом степени меньше т, то можно воспользоваться представлением (2), где производные вычислены по (3).

Будем рассматривать экстраполяцию как численный метод прогнозирования на один шаг дискретности h. Тогда метод будет устойчив [70], если все корни характеристического уравнения лежат в единичном круге комплексной плоскости, а корни, по модулю равные единице, обязательно простые. Из этого критерия следует теорема для полиномиальной экстраполяции по нескольким равноотстоящим узлам.

Утверждение. Полиномиальная экстраполяция с равноотстоящими узлами всегда неустойчива.

Действительно, пусть Y(x) — вектор-функция (У = yh i = 1, ..., т). Интерполяционный полином в форме Лагранжа по (т + 1)-узлу будет иметь вид:

Положим теперь У,; = У(Х;), х-, = hi, где h > 0 — шаг дискретности. Тогда

Последнее равенство есть рекуррентное соотношение для определения очередного вектора У,+1 по т + 1 предыдущему. Характеристическое уравнение для него имеет вид:

или иначе (X - 1)'"+1 = 0. Следовательно, корни характеристического уравнения равны единице и обязательно кратные. Значит, имеет место неустойчивость.

Неустойчивость экстраполяции с помощью полиномов не может быть устранена, если выбирать узлы интерполяции каким-либо специальным образом. Так, например, рассмотрим процесс экстраполяции по двум предыдущим узлам с произвольными шагами дискретности. Итак, пусть

Обозначим последовательность шагов дискретности hk, k= 1, 2..., так что Тогда рекуррентное соотношение численного метода записывается как линейное нестационарное разностное уравнение второго порядка:

Общее решение этого уравнения может быть получено по индукции в форме

Нетрудно видеть, что если решение ограничено, то оно и не продолжимо на всю ось (кроме постоянных решений, естественно). Значит, и численный метод неустойчив.

Экстраполяция может проводиться с сохранением некоторых качественных особенностей функции ф(х), которые аналитически выражаются, например, условиями типа:

Если имеет место а), то естественно считать, что при х е [Ь, Р] будет выполняться G(x, f(x)) = Сх. Последнее равенство является уравнением относительно f(x) при х е [Ь, р]. Оно разрешимо при известном условии dG/dy * О при х е [Ь, р]. Однако необходимо потребовать существование непрерывных производных функций G и ср.

Если имеет место б), то для нахождения f(x) можно записать интегральное уравнение: для всякого х е [b, Р]

которое можно решать методами теории интегральных уравнений, например, если G линейны по /, то уравнение (4) будет интегральным уравнением Вольтерры I рода. Дифференцируя б) по х, можно получить более общее условие:

Если G разрешима относительно /, то для всякого фиксированного х е [b, Р] можно получить f(x). Дифференцируя уравнение (5) по х, получаем:

или иначе

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >