О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКЕ

Этот параграф объединяет понятия теории моделирования, которые при интуитивном восприятии кажутся простыми, однако для построения формальной модели лучше лишний раз уточнить их смысл.

НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Первым таким понятием является «система». Очень часто понятие «система» используется в интуитивной форме, исследователи не определяют, что это такое. Здесь мы условимся считать, что системой называется множество объектов произвольной природы, связанных между собой возможностью взаимного влияния.

Может быть, действительно, само понятие системы не важно, однако, когда составляется модель экономических процессов, нужно понять, что является эндогенными и экзогенными (внутренними и внешними) параметрами и что такое замкнутая система. Например, в некоторых задачах производства экзогенными параметрами являются цены, по которым продается продукция, налоги, спрос и предложение сырья, капитала, труда и многое другое, что мы потребляем извне для производства; эндогенными являются количество энергии, требуемой для технологического процесса, количество труда и величина зарплаты, использованные в производстве, и тому подобное, что мы устанавливаем сами. Условное разделение факторов, влияющих на объекты системы, зависит от постановки задачи и опыта исследователя, т. е. это довольно субъективное решение.

Когда составляется математическая модель, надо определить, что такое объекты системы и как они связаны внутри системы между собой. Рассмотрим, например, какие объекты могут объединяться в систему, если решается какая-либо макроэкономическая задача. Макропараметры — это валовой внутренний продукт (ВВП), налоги, уровень жизни ит.п. Что же в задачах макроэкономики является системой? Это народ, все источники сырья, технологии, основные фонды и т. д. Влияет ли динамика народонаселения на ВВП? Да, конечно. Чем больше народа участвует в производстве, тем больше выпуск продукции; чем выше покупательная способность, тем выше спрос; чем больше рождаемость, тем больше требуется рабочих мест и т. д. Динамика и распределение народонаселения в окрестности размещения основных фондов — это влияющие друг на друга объекты. Так, например, если возрастает продолжительность жизни людей, то работающему населению надо повысить производительность труда, чтобы прокормить неработающих. А если этого нет, то данную страну ожидает экономический кризис.

Каждому объекту в системе соответствуют некоторые функционалы, которые называются переменными состояния системы. Если говорить о технических объектах, то все понятно (океан-корабль составляют систему: океан выталкивает корабль до какого-то уровня и создает волны, корабль движется по океану и имеет шесть степеней свободы). В экономике, если рассматривать микроэкономические проблемы одного предприятия, параметры, которыми описывается предприятие, будут такие: стоимость входа (все, что взяли снаружи, чтобы произвести одну единицу продукции), количество единиц продукции, произведенных за единицу времени. Если предприятие более эффективно, то за единицу времени выпускается больше единиц продукции или единица продукции стоит меньше.

Переменные, описывающие объект, — это функция той задачи, которую мы решаем. Главная цель человека, решающего данную задачу, заключается в том, что он должен правильно подобрать эти переменные.

Переменные, которые мы выбираем для описания объекта, должны удовлетворять таким свойствам:

• ? изоморфизм — если эти переменные не меняются, то считается, что и объект не меняется (взаимно-однозначное соответствие);
• ? свойство полноты — любое состояние системы представляется через минимальное семейство переменных; если из семейства можно изъять какую-нибудь переменную, не меняя при этом изоморфизма, то семейство уменьшится, оставаясь при этом полным. Таким образом, можно минимизировать количество данных, описывающих состояние объекта, сохраняя полноту описания.

Далее мы неоднократно будем пользоваться экономическими терминами, в самом определении которых просматривается зависимость от других. Например, рассмотрим некоторые определения [12].

«Внутренний валовой продукт (ВВП) — макроэкономический показатель статистики народного хозяйства. ВВП рассчитывается как совокупная стоимость конечной продукции отраслей материального производства и сферы услуг независимо от национальной принадлежности фирм, расположенных на территории данного государства. ВВП исчисляется тремя способами:

• ? по производству — как сумма условно чистой продукции (или добавленной стоимости) всех отраслей материального производства и сферы услуг, включая весь экспорт товаров и услуг;
• ? по распределению — как сумма государственного и частного потребления, государственных и частных инвестиций, прироста или уменьшения всех видов запаса или экспорта;
• ? по доходам — как сумма заработной платы наемных работников, всех видов прибыли, рентных доходов, амортизационных отчислений и косвенных налогов.

ВВП может быть рассчитан в текущих или неизменно

сопоставимых ценах».

«Индекс стоимости жизни (ИСЖ) — это исчисляемый индекс цен и тарифов фиксированного набора товаров и услуг, входящих в потребление соответствующих категорий населения. Его функция — выразить динамику рыночной стоимости основных цен на товары и тарифов на услуги. При исчислении ИСЖ набор товаров и услуг постоянно увеличивается. Среди них есть цены на продукты питания, одежду, топливо и другие расходы (образование, медицинское обслуживание и т. д.)».

Очевидно, и ВВП, и ИСЖ связаны с инфляционными процессами (стоимостью денег), с демографическими проблемами, с безработицей и т. д. В определении ИСЖ количество услуг и товаров постоянно увеличивается, поэтому нельзя сравнивать стоимость жизни на больших интервалах времени, например в 1913 г. и в нынешнем. ИСЖ — характеристика экономики, но ее очень трудно применять, поэтому вводят понятие изменение ИСЖ, и оно должно быть положительным. Более активным является параметр продолжительности жизни.

Определим, что такое структура системы. Отдельные объекты системы могут по-разному влиять друг на друга. Это влияние может меняться с течением времени. Так, бюджетные инвестиционные потоки зависят от политических предпочтений, международной конъюнктуры и других нестационарных факторов. Поэтому назовем структурой системы граф взаимного влияния объектов между собой.

Рассмотрим пример структуры [71]. Простейшей замкнутой экономической моделью может служить однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель. На рисунке 1 показано, как природные ресурсы и труд извне поступают в производственный технологический цикл и, объединяясь с основными производственными фондами, превращаются в валовой продукт. Он, в свою очередь, частью возвращается в производство (в виде возврата по кредитам или оборотного капитала и т. д.), а частью составляет конечный продукт, который делится на непроизводст-

Рис. 1

Пример структуры экономической системы

венное потребление и валовые капитальные вложения. Последние используются на поддержание и развитие основных производственных фондов.

Математическая модель рассматривает зависимость между переменными состояния системы. Модели динамических процессов рассматриваются при постоянной структуре. Математические модели составляют из балансовых соотношений, то есть рассматривают систему как замкнутую и считают, что в нее попадает и как дальше распределяется. Так, например, если у заводского управления есть инвестиции, то их можно распределить на три части: дать цеху 1, цеху 2 и складу:

где б — сложно учитываемая добавка (могут быть управленческие затраты). Если будем считать в человеко-часах людей, занятых в производстве (получающих зарплату), то получим:

Здесь индекс st обозначает склад, ас — бухгалтерию. Два последних соотношения являются элементами математической модели. Целая модель чаще всего бывает громоздкой, поэтому предусматривается возможность ее агрегирования (группирование частей в единое целое) или декомпозиции (представления целого как независимых частей). И та и другая процедуры формально изменяют модель. Фактически мы от одной модели переходим к другой, более маленькой в случае декомпозиции. Будут ли применимы выводы, которые мы делаем для меньших систем, ко всей системе? Нет, не всегда.

Рассмотрим систему:

Предположим, что вектор переменных и вектор управлений состоят из трех частей: х = (jcj, x-z, *з)> и = (мь из, из). Декомпозиция в данном случае есть разделение на три подсистемы:

Математически заменяем одну систему на несколько других путем выбрасывания внедиагональных элементов. Получаем:

Если мы захотим перевести решение этой системы в нуль и для этого найдем и, U2, из, переводящие в нуль, то вся система в нуль не обратится из-за этих внедиагональных элементов, которые весьма существенны в рассмотрении.

В теории систем существуют примеры, когда управления, оптимальные для отдельных частей системы, в объединенном состоянии не выполняют своей функции, т. е. система в целом управляется не только неоптимально, но и недопустимо. Рассмотрим такую ситуацию.

Пусть, например, требуется решить задачу стабилизации для линейной стационарной системы

Воспользуемся тем, что диагональные элементы матриц коэффициентов существенно больше по абсолютной величине внедиагональных, и проделаем декомпозицию. Получим два независимых управляемых уравнения:

Для последних уравнений задача стабилизации решается управлениями и = 2.Х, и-2 = х-2, а для функционалов

задача стабилизации решается к тому же и оптимально. Однако, подставляя найденные оптимальные стабилизирующие управления в исходную общую систему, получим:

Характеристическое уравнение матрицы коэффициентов этой системы имеет вид А.² + 2А - 0,5 = 0. Один из корней этого уравнения положителен и, значит, найденные управления не только неоптимальны, но и не решают задачу стабилизации.