Расчет распорного усилия и мощности привода валков

Наиболее существенным фактором, в конечном итоге определяющим прочностной расчет валков, станины, подшипниковых узлов и многих других элементов конструкции валковых машин, является распорное усилие. Причиной его возникновения является сжатие в межвалковом зазоре затянутого в него полимера. При этом в материале возникают реактивные силы, направленные навстречу сжимающей нагрузке. При постоянном по длине валков зазоре распорное усилие равномерно распределено от одной ограничительной стрелы до другой. Ограничительные стрелы устанавливаются на валковых машинах для того, чтобы обрабатываемый материал не попадал на шейки валков и в подшипниковые узлы. Величина распорного усилия зависит от вязкости обрабатываемого материала, размеров межвалкового зазора и ряда других факторов.

Естественно, что для вращения валков к ним необходимо приложить определенный крутящий момент, величина которого также влияет на прочность узлов и деталей валковых машин. Кроме того, на их прочность оказывают влияние усилия, возникающие в различных элементах привода.

Привод к валкам может быть групповым и индивидуальным. При групповом приводе все валки вращаются от одного двигателя. При индивидуальном приводе вращение каждого валка обеспечивает свой двигатель. Для обеспечения группового привода валков большое распространение получили блок-редукторы.

Особенность конструкции привода валковых машин состоит в том, что для изменения межвалкового зазора один или несколько валков должны выполняться подвижными. При изменении их положения всякий раз нарушается соосность между валом привода и подвижным валком. Для компенсации этой несоосности применяются шарнирные муфты и карданные валы. Если же на подвижном валке имеется шестерня или зубчатое колесо открытой пары, то эти пары имеют крупномодульное зацепление.

При расчете распорного усилия и мощности привода валков вводятся следующие допущения:

• • обрабатываемый материал несжимаем и расплав смачивает поверхность валков;
• • процесс изотермичен;
• • пренебрегают массовыми силами;
• • рассматривается плоская задача;
• • расплав материала подчиняется закону вязкости Ньютона;
• • коэффициент фрикции валков равен единице, то есть на своей поверхности валки имеют одинаковую линейную скорость V.

Учитываем, что в межвалковом зазоре имеют место два потока: вынужденный поток, обусловленный трением перерабатываемого материала о поверхность валка, и противопоток, вызываемый наличием градиента давления вдоль вертикальной оси X, делящий межвалковое пространство на две равные части. Расчетная схема приведена на рис. 5.3.

Рис. 5.3. К расчету процесса вальцевания

Для определения вынужденного или прямого потока рассмотрим схему на рис. 5.4. На схеме изображен межвалковый зазор в произвольном сечении с координатой х. Производительность этого потока равна

где 2h — ширина межвалкового зазора в произвольном сечении х; L — длина рабочей части валка, заполненная материалом; V — линейная скорость внешней поверхности валков.

Рис. 5.4. Поток материала в произвольном сечении с координатой х

Как известно, поток под действием градиента давления dp/dx через плоскую щель шириной 2h и длиной L равен

где Г| — коэффициент вязкости.

Знак «минус» в уравнении (5.2) указывает на то, что поток под давлением направлен против оси х.

Таким образом, суммарный поток Q_x в произвольном сечении с координатой х, включающий в себя вынужденный поток и противопоток, равен

В месте, где в точке с координатой х_к происходит отрыв материала от одного из валков (см. рис. 5.3), производительность определяется только вынужденным потоком, так как давление в точке с этой координатой равно нулю.

Обязательным условием непрерывности получаемого профиля является равенство суммарных потоков в любом сечении межвалкового зазора, поэтому можно записать Q_v = Q_K или, учитывая уравнения (5.3) и (5.4),

или

Для удобства перейдем к безразмерной независимой переменной. Из треугольника ОЛВ (рис. 5.3) согласно теореме Пифагора запишем:

или R² = х² + R² - 2R(h -h_u) + (h - h₀)² = x²+R²-2Rh + 2Rh_u + h² - 2hh₀ + h²u, а так как размеры h и /г₀ существенно малы в сравнении с х и R, пренебрегаем членами h², h и hh₀.

Откуда

или то есть

Введем обозначение новой независимой переменной. Пусть тогда

а

Подставим (5.9) в (5.8) и получим величину межвалкового зазора в произвольном сечении т.

а затем по аналогии найдем величину этого зазора в сечении с координатой х_к:

Подставим уравнения (5.12) и (5.13) в уравнение (5.6) и получим значение градиента давления, выраженное через безразмерную независимую переменную р:

Интегрируя выражение (5.14), получаем значение давления материала в произвольной точке межвалкового зазора с координатой р:

где

Постоянную интегрирования С определяем из граничного условия: при р = р_к р = 0. Тогда

Для практических расчетов с достаточной степенью точности можно считать, что

Анализ уравнения (5.14) показывает, что dp/dp = 0 в двух случаях (при р = + р_А, и при р = -р_к), причем при р = +р_к имеем точку минимума р = 0, а максимальное давление получим при р = -р_к.

Поскольку функция/(р, р_к) может быть как положительной, так и отрицательной, то уравнение (5.15) имеет два корня, представляющие интерес, а именно р = - р_и и р = +р_к. Безразмерная координата р_н соответствует координате сечения входа обрабатываемого материала х_ц (рис. 5.3).

Уравнение (5.15) показывает, что в этих точках должны существовать следующие условия:

Отсюда видно, что

Следовательно, между р_к и р_;/ существует только одно функциональное соотношение, показанное графически на рис. 5.5.

Рис. 5.5. Зависимость р_к от р_н

Выражение для определения максимального давления можно получить из уравнения (5.15) с помощью подстановки р = -р_г Так как/(р, р_Л) — нечетная функция, то

Если же принять во внимание и уравнение (5.19), то получим выражение для определения максимального давления

Отношение давлений р/р_тах, получаемое при делении уравнения (5.15) на уравнение (5.23), равно

В частном случае, когда р = 0, величина/(О, р_Л) и уравнение (5.24) принимает вид:

Отсюда следует, что давление, развивающееся в зазоре между валками, равно половине максимального давления.

Общий вид распределения давления, получаемого при построении графика зависимости р/р_юах от р. определяется поведением функции/(р, р_к). Легко вычислить следующие основные точки кривой распределения давления:

Если уравнение (5.15) представить в виде то, используя уравнение (5.24), получим

Для иллюстрации влияния р_к на характер распределения давления параметры г), V, R, /г₀будем считать постоянными. В этом случае уравнение (5.26) можно записать в следующем виде:

где р' — относительное давление.

На рис. 5.6 показана зависимость относительного давления р' от р для трех различных значений параметра р_к. Заметим, что при увеличении параметра p_K кривая расширяется, а максимальное давление увеличивается. Так как р_тах зависит от третьей степени р^., то даже незначительные изменения вызывают большие изменения р_тк. Например, если р_к увеличится вдвое, то это вызовет увеличение р_{т х} в восемь раз. При увеличении значения параметра р_л. от 0,28 до 0,32, р_тх возрастет примерно на 50%.

Рис. 5.6. Кривые относительного давления для различных значений р_к

Хотя параметр р_к и оказывает сильное влияние на форму кривой давления, гидродинамическая теория вальцевания все же не в состоянии независимым образом установить значение р_к. Значение параметра р_Л. необходимо определять опытным путем. Если имеется кривая давления, то значение параметра р_А. можно определить исходя из давлений в тех точках, где оно равно нулю и максимально, а также исходя из значения давления в зазоре между валками. Учет этих зависимостей дает наиболее хорошие результаты.

Гидростатическое давление жидкости, возникающее между валками, стремится их раздвинуть, то есть создает распорное усилие

Подставляем выражение для давления (5.15) в уравнение (5.28) и после интегрирования получаем

где функция q(p_K) определяется выражением

Крутящий момент на площадке валка шириной dx равен

Напряжения сдвига т по аналогии с плоской щелью определяются как

подставив в выражение (5.32) значение dx из уравнения (5.11), a h из уравнения (5.12), получим

Теперь подставим (5.11) в (5.31) и воспользуемся уравнением (5.14), тогда получим

Мощность привода двухвалковой машины где

При выводе основных уравнений теории вальцевания использовалось допущение о том, что расплав полимера, находящийся в межвалковом зазоре, подчиняется закону вязкости Ньютона т = туу. Теперь кратко рассмотрим случай неныотоновс- кого поведения расплава, когда он подчиняется степенному закону т = Г|₍₍у ^i/n.

Приближенно можем считать, что . Тогда давление в зазоре равно

и по аналогии с предыдущими вычислениями

где F_n и N_n — соответственно распорное усилие и затрачиваемая мощность при вальцевании неныотоновской жидкости.

Таким образом, распорное усилие при вальцевании неньютоновской жидкости относится к распорному усилию при вальцевании жидкости, подчиняющейся закону Ньютона, как

ИЛИ при Г|₀ = Г)