Асимметричное распределение Гаусса

В этом случав используются два гауссовых распределения, каждое из которых имеет свое рассеяние: AR_pi и ДД_р2_ Объединяются эти распределения общим значением проекции пробега R_M:

Величины R_M, R_pl и R_p2 вычисляются по табличным данным, рассчитанным Гиббонсом (табл. 1.3) по формулам

Здесь у — асимметрия распределения. Если У < О, то AR_pi и AR_p2 следует поменять местами.

Таблица 1.3

Параметры для сопряженных гауссовых распределений

Распределение Пирсона—IV

Более точное описание несимметричных распределений дает модель Пирсона с четырьмя параметрами. Как и в предыдущей модели, проекция пробега R_p центрирует распределение, имеющее следующий вид:

Константа k определяется из условия нормировки:

Константы а, Ь₀, Ь_г и Ь₂ определяются с помощью четырех моментов:

средний пробег

три других момента: рассеяние

нормированная несимметричность

нормированное затухание

Тогда

где A = 10р-12у² -18.

Асимметрия характеризует изгиб профиля, а эксцесс р — степень плавности вблизи его вершины. Соотношение между Рз и ц₄ должно выбираться так, чтобы выполнялось неравенство

которое и определяет распределение Пирсона-IV. Максимум распределения находится в точке х = R_p, если у = 0. Для у < 0 (отрицательная кривизна) пик распределения находится глубже R_p и кривая для х > а падает быстрее, чем для х < а. При положительной кривизне картина противоположная. Для распределения Гаусса эксцесс равен 3. Универсальное значение для эксцесса дано Гиббонсом:

Распределение примеси получим умножением f(x) на дозу примеси

Функция f(x), как и к, имеет размерность [см^-1]. Расчеты, выполненные по модели Пирсона, дают совпадение с экспериментом для значения R_p с точностью около 2%, однако для рассеяния экспериментальные значения превышают теоретические (до 40%). Хорошего совпадения можно достичь, если ввести аппроксимацию у= -?/300 кэВ и (3 = 8 + 25((3_min - 3).

Здесь, как и ранее, предполагалось, что профиль концентрации простирается от -<х> до +оо. В полубесконечной мишени нормировочную константу k следует корректировать, она обычно находится численным интегрированием.

Сравнение профилей, полученных с помощью двух распределений Гаусса и Пирсона, показало на рис. 1.5. (Третий и четвертый моменты анализируются обычно экспериментально или численно, например, методом Монте-Карло.)

Рис. 1.5. Сравнение профилей распределения бора, мышьяка и фосфора с энергией 150 кэВ в кремнии, рассчитанных по разным моделям. (Условные обозначения:---гауссовская;--сопряженные

гауссианы; - • - • - Пирсона.)