Вычисление пробега иона и его проекции

Определенные из уравнений (1.8) и (1.11) значения S_n и S_e можно подставить в выражение (1.2) и получить величину полного пробега иона. В теории ЛШШ эти вычисления выполнены численными методами. Однако для реального распределения не требуется знания полного пробега иона, нужно знать величины средней щюекции полного пробега на направление движения иона R_p и ее дисперсию ДR_P, которая определяется разбросом значений R из-за случайного характера столкновений ионов с ядрами атомов и соответственно различными величинами как полного пробега ионов, так и его проекций. Расчет этих величин в теории ЛШШ достаточно сложен, причем сложности эти не вполне оправданы, так как точность с учетом различных допущений обычно не превышает 10-15%. Поэтому в ряде случаев вполне достаточно использовать простые аналитические аппроксимации, которые позволяют выполнить инженерные расчеты с точностью не хуже 20% для R, R_p и AR_p.

Для пробега иона с учетом только рассеяния на ядрах атомов Гиббонсом была предложена аппроксимация

где

Видно, что с ростом Z и количества ионов N длина пробега уменьшается. Полный пробег в соответствии с выражением (1.2) равен:

1 2

Используя приближение 1п(1 + х) = х - —х + получаем

2

Другая модель предложена Юдиным. Удельные потери энергии на ядерное торможение в зависимости от энергии, согласно этой модели, изменяются следующим образом:

где с = 0,45, a d = 0,3.

Пробег, на длине которого энергия иона уменьшается с а до (е - de), равен

Интегрируя это выражение по всему диапазону энергий, получаем:

где F — нормирующий множитель энергии, эВ ¹.

Средний пробег в соответствии с формулой (1.6) равен

Расчет среднего проецированного пробега можно провести с использованием следующего выражения:

где В — корректирующая поправка, связанная с рассеянием ионов на ядрах атомов,

е_п может быть аппроксимирована (по модели Юдина) следующим образом:

При движении в мишени ионы взаимодействуют с атомами случайным образом, вследствие чего имеют, как говорилось выше, различные длины пробегов. Дисперсия проекций пробегов может быть определена так:

Ядерная тормозная способность в выражении (1.16) зависит от энергии е следующим образом: для значений 0,5 < в < 10 она описывается выражением (1.13), а для е > 10 — выражением

Расчеты, выполненные с использованием этой модели, совпадают с расчетами по ЛШШ с точностью до 20%.

Величины R_p и AR_p для основных примесей в кремнии рассчитаны и табулированы в зависимости от энергии ионов (табл. 1.2).

Таблица 1.2

Значения R_p и AR_p ионов в кремнии