Глава 3. КВАНТОВЫЕ ЯМЫ

3.1. СПЕКТР РАЗМЕРНОГО КВАНТОВАНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК В КВАНТОВЫХ ЯМАХ

Теперь рассмотрим более реалистичный случай полупроводниковой квантовой ямы с конечными величинами барьеров в валентной зоне и в зоне проводимости, AEcv. При конечной величине барьеров волновые функции электронов (дырок) уже могут проникать в барьеры, а число состояний в квантовой яме становится конечным. Число состояний размерного квантования в прямоугольной квантовой яме с конечной величиной барьера V0равно:

где Int[x] — указывает целое число.

Отсюда следует, что даже в самой «мелкой» квантовой яме для носителей имеется, как минимум, одно связанное состояние. Волновые функции состояний размерного квантования в ямах с конечной величиной барьеров остаются синусоидальными внутри квантовой ямы, а в барьерах они экспоненциально спадают. Состояния размерного квантования продолжают характеризоваться квантовыми числами nez-h =1,2,..., однако имеются также состояния с энергиями, превышающими величины энергетических барьеров. Эти состояния образуют протяженный 3D континуум состояний, в котором в плотности состояний присутствуют резонансы при характерных значениях энергий, аналогичные продольным модам в оптических резонаторах [1] (см. рис. 3.1).

Волновые функции в 2-направлении удовлетворяют одномерному уравнению Шредингера:

где Ve h(ze h) — структурный потенциал, характеризующий высоту барьера квантовой ямы. Существенно, что в уравнении (3.1) эффективные массы носителей meh зависят от z, так как в барьере и в квантовой яме эти массы различны. Граничные условия используют законы сохранения для вероятностей плотности числа частиц и тока. Квантовое число nz интерпретируется достаточно просто, это целое число определяет количество нулей волновой функции у?еп'1 внутри квантовой ямы: число нулей равно (п2 - 1). На рисунках 3.1 и 3.2 показаны поведение потенциальной энергии барьеров в 2-направлении, а также вид волновых функций.

Рис. 3.1

Вариации потенциала и одночастичные волновые функции в направлении размерного квантования в квантовых ямах и выше барьеров квантовых ям

Рис. 3.2

слева — квантовая яма с бесконечно высокими барьерами; справа — квантовая яма с барьерами конечной высоты.

Рис. 3.3

Поведение функции Эйри на границе раздела: г < 0 — квантовая яма; г > 0 — барьер.

Рассмотрим еще пример треугольной квантовой ямы, достаточно широко используемой на практике. Достаточно сказать, что разнообразные свойства двумерного электронного газа, включая квантовый эффект Холла, исследовались в условиях квантового конфайнмента электронов в таких треугольных квантовых ямах. Итак, в треугольной яме структурный потенциал V(z), обеспечивающий пространственный конфайнмент носителей, линейный для z > 0 и имеет бесконечно высокий барьер при z = 0.Уравнение Шредингера для огибающей волновой функции в направлении размерного квантования имеет вид:

где F — электрическое поле при z > 0, а граничное условие ф„(0) = 0. Дифференциальное уравнение (3.2) имеет два независимых решения, и одно из них для z —> оо есть функция Эйри (Ai). На рисунке 3.3 продемонстрировано, что функция Эйри осциллирует при z < 0 и экспоненциально стремится к 0 при z -» оо. Прямая подстановка Ai(a + рг) в уравнение (3.2) показывает, что решение есть:

и это решение демонстрирует верное поведение при г —» °о. С граничным условием 2 = 0 собственные значения энергии равны

где а„ — нули функции Эйри Ai.

С достаточной точностью

а собственные значения энергии равны

На рисунке 3.4 показаны волновые функции и энергии размерного квантования в трехугольной квантовой яме (КЯ).

В плоскости квантовой ямы движение электронов проводимости достаточно простое, поскольку их природа проистекает из невырожденного Г-минимума зоны проводимости объемного полупроводника (на другом языке: бло- ховские функции зоны проводимости s-типа). Поведение дырок во многих случаях оказывается существенно сложнее. В соединениях III—V потолок валентной зоны содер-

Рис. 3.4

Волновые функции и энергии размерного квантования в треугольной КЯ

жит мультиплет, соответствующий моменту J = 3/2, и нижнюю валентную зону с моментом J = 1/2, отщепленную вследствие спин-орбитального взаимодействия [2], [3]. В точке экстремума зоны, соответствующие моменту J = 3/2, вырождены, однако вырождение снимается при К > 0 из-за различной кривизны зон тяжелых дырок (hh, Jz = ±3/2) и легких дырок (lh, Jz = ±1/2). Корректное описание спектра дырок можно осуществить, производя вычисления на единой основе в рамках (к р)-приближения с учетом конфайнмента. Это удается выполнить только посредством численных рассчетов.

Остановимся сначала на физической сути самого подхода к рассматриваемой задаче. Вблизи центра зоны дисперсия мультиплета J = 3/2 описывается гамильтонианом Латтинджера [4]:

где коэффициенты Yj 2,3 — параметры Латтинджера; т0 — масса свободного электрона. Для большинства III-V гетероструктур нормаль к эпитаксиальному слою совпадает с кристаллографическим направлением z || [001]. В этом направлении, пользуясь гамильтонианом (3.6), нетрудно установить, что эффективные массы, соответствующие проекциям углового момента Jz = ±1/2 и Jz = ±3/2, равны т2 = /n0/(yi - 2уг) соответственно. Если воспользоваться этими значениями эффективных масс в уравнении Шре- дингера (3.6) для расчета энергий дырок в направлении г || [001], то несложно найти, что размерное квантование в этом направлении снимает вырождение дырочного мультиплета и обеспечивает появление двух расщепленных подзон: подзону тяжелых дырок, hh, с проекциями момента^ = ±3/2 и массой mz hh = т0/(- 2у2) и подзону легких дырок, lh, с проекциями момента Jz = ±1/2 и массой mz,ih = та/(Ч + 2уг)- Если барьеры квантовых ям бесконечно высоки, то энергии размерного квантования основных состояний (п = 1) подзоны тяжелой и легкой дырок в кх = 0 соответственно равны

На рисунках 3.5а и b на качественном уровне иллюстрируется расщепление в к = 0 исходно вырожденного р- состояния, J = 3/2, в валентной зоне на подзоны легких и тяжелых дырок. А на рисунках 3.5с и d показан учет высоких порядков (кр)-возмущения, который приводит к антикроссингу зон легких и тяжелых дырок.

Теперь давайте посмотрим, каковы эффективные массы расщепленных зон размерного квантования с Jг = ±3/2 и Jг = ±1/2 в плоскости квантовой ямы (х, у). Положив в уравнении (3.6) kz = kv = 0 и kx * 0 нетрудно установить из гамильтониана Латтинджера, что легкие, lh, и тяжелые, Ай, дырки имеют параболическую дисперсию, но с противоположной кривизной, а именно:

Таким образом, в плоскости (х, у) легкая дырка (J2 = = ±1/2) оказывается тяжелее, чем тяжелая дырка. В рамках такого упрощенного приближения эти дырочные зоны должны пересекаться при некоторых значениях кх > 0. Для бесконечно высоких барьеров подзоны легких и тяжелых дырок пересекаются в точке к = п^]2/Lz. Такая

Рис. 3.5

а, b — расщепление в к = 0 исходно вырожденного p-состояния, J = 3/2, в валентной зоне на подзоны легких и тяжелых дырок; с, d — учет высоких порядков р)-возмущения приводит к антикроссингу зон легких и тяжелых дырок.

Рис. 3.6

Дисперсия валентной зоны в плоскости GaAs/AlGaAs квантовых ям шириной 100 и 150 А:

пунктиром показана дисперсия в отсутствие смешивания зон легких и тяжелых дырок.

ситуация явно не физическая. На самом деле, при учете (кр)-возмущения, в области пересечения подзон легких и тяжелых дырок возникает их антикроссинг (эти зоны «расталкиваются»). Вследствие антикроссинга появляется сильная непараболичность в дисперсии подзон, в частности, подзона тяжелых дырок становится еще более плоской (соответствующая масса становится «тяжелее»). Помимо этого также происходит смешивание состояний легких и тяжелых дырок: в каждой из подзон при k » Ksj2/ Lz характер дырки меняется на противоположный [5]. Полная диагонализация дырочного гамильтониана представляет собой сложную задачу, которая была выполнена численно в ряде работ (см. например, работы [6 ,7]). Результаты расчетов подтверждают изложенную выше картину поведения дырочного спектра в квантовых ямах. Эти результаты показаны на рисунке 3.6 (из работы [8]) и иллюстрируют рассчитанные спектры дырок в GaAs квантовых ямах шириной 100 А и 150 А.

Интенсивность оптических переходов определяется произведением: квадрата межзонного матричного элемента на блоховских функциях электронов и дырок, |егС1)|2, электронно-дырочным интегралом перекрытия в направлении размерного квантования и комбинированной плотностью состояний. Таким образом, спектр поглощения в одночастичном представлении состоит из набора континуумов, соответствующих переходам между различными валентными зонами и зонами проводимости (hh —> е и lh —> е, каждая ступень поглощения имеет вес р/(лй2), где р — приведенная масса). Вблизи к = 0, когда характер hh и lh хорошо определен, квадраты дипольных моментов переходов из подзон hh и lh пропорциональны отношению 3/4:1/4 , когда электрический вектор световой волны параллелен плоскости квантовой ямы. Если электрический вектор поля волны перпендикулярен плоскости квантовой ямы, то это соотношение для тяжелых и легких дырок равно 0 и 1. В реальных ситуациях эти соотношения по различным причинам нарушаются.

В силу различия масс, электронные и дырочные волновые функции неодинаково проникают в структурные потенциальные барьеры. По этой причине правило отбора оптических переходов Апг = 0 нарушается. Тем не менее, переходы пгеФ nzh остаются достаточно слабыми. Их часто называют «запрещенными» переходами.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >