ВТОРАЯ ОПТИЧЕСКАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ НАНОСТРУКТУР: КВАНТОВЫЕ ТОЧКИ, КВАНТОВЫЕ ЯМЫ, СВЕРХРЕШЕТКИ, ЭКСИТОННЫЕ ПОЛЯРИТОНЫ

РАЗМЕРНОЕ КВАНТОВАНИЕ И ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ

В этом разделе напомним, каким образом пространственные ограничения (конфайнмент) свободного движения электронов и дырок проявляют себя в плотности одночастичных состояний и в комбинированной плотности состояний, а следовательно, в оптических спектрах. Плотность состояний в шкале энергий, gD(E) (индекс D — размерность системы), связана с плотностью состояний в

пространстве волновых векторов, (коэффициент 2 проистекает от двух возможных проекций спина электрона или дырки), следующим образом:

При известном законе дисперсии ?(к) и размерности изучаемой системы плотность состояний легко рассчитать. Ограничимся здесь рассмотрением комбинированной плотности состояний в области экстремумов в центре бриллюэновской зоны; будем рассматривать гетероструктуры 1-го рода и примем в рамках приближения эффективной массы квадратичный закон дисперсии для электронной (дырочной) зон.

Очень удобно начать рассмотрение со случая идеализированного кубического кристаллического образца, ограниченного бесконечно высокими потенциальными барьерами. Итак, вначале рассмотрим куб с линейными размерами Lx, Ly, Ьг, сопоставимыми с длинами, проявляющими себя в динамике частиц в полупроводнике, а именно: с дебройлевской длиной волны или с боровским радиусом (L, = h/p, L, = z- h2/me2, соответственно i — координата х, у, z; h — постоянная Планка; z — диэлектрическая проницаемость), а также примем высоту барьеров куба неограниченно высокой. Такой идеализированный образец, по существу, является «квантовым ящиком» (или «квантовой точкой»), поскольку квантовые явления и, в частности, размерное квантование обнаруживают себя во всех трех измерениях. Иначе говоря, такой объект обладает нульмерной размерностью, D = 0. В реальных системах на основе полупроводниковых гетероструктур размеры квантовых точек составляют от единиц до нескольких десятков нанометров. Эти размеры, тем не менее, намного превышают постоянные кристаллических решеток. Это дает основание, во-первых, пользоваться при рассмотрении приближением эффективной массы и, во-вторых, считать, что сами величины эффективных масс носителей мало отличаются от масс электронов и дырок в массивных 3-мерных образцах. Вначале будем пренебрегать электронно-дырочным взаимодействием и интересоваться только пространственными координатами электронов и дырок. В рамках такого одночастичного приближения волновые функции электронов и дырок можно записать в следующем мультипликативном виде:

где

Волновые числа дискретны в соответствии с выражением

где Л; — соответствующие числа, характеризующие номер квантового состояния. Волновые функции образуют полный ортонормированный набор состояний с дискретным энергетическим спектром:

где Eg — энергетическая щель полупроводника, энергии

размерного квантования , те и mh

эффективные массы электрона и дырки, которые в принципе могут быть тензорными величинами, лг = 1, 2, 3... — целые числа. Для упрощения выражений будем считать эффективные массы изотропными и введем приведенную массу р, иногда называемую оптической массой, р-1 = т,-1 + 1 (именно оптическая масса фигурирует в комбинированной плотности состояний при расчетах межзонных оптических переходов). Вследствие ортогональности волновых функций оптические переходы между валентной и электронной зонами размерного кванто- вангия таковы, что электронные и дырочные квантовые числа должны быть одинаковы, иными словами разрешены оптические переходы, когда (л,)е = (Anf’h = 0).

Только в этом случае достигается наибольшее перекрытие огибающих волновых функций электронов и дырок.

Видно, что в случае квантовой точки (3-мерный случай квантового конфайнмента, D = 0) собственный энергетический спектр оказывается полностью дискретным. В этом случае комбинированная плотность состояний имеет дель- тафункционный вид:

В формуле (1.4) фактор 2 связан со спиновым вырождением.

К квазиодномерному случаю (случаю «квантовой нити» или «квантовой проволоки») можно прийти, если один из размеров, например, длину куба Ьу устремить к бесконечности (Ly -» оо). В этом случае волновые числа ку и энергия размерного квантования в этом направлении становятся континуальными,

Результирующая комбинированная плотность состояний в одномерном случае равна:

g1D(?) демонстрирует сингулярное поведение (сингулярность Ван Хова) вблизи порога одномерного спектра.

К квазидвумерному случаю (случаю «квантовой ямы») приходим, если одновременно два размера куба, Lx и Ly, устремить к бесконечности (Lx, Ly —> qo). В результате комбинированная плотность состояний в двумерном случае оказывается равной:

где 0(E) — хорошо известная функция Хэвисайда (0 = 0 для Е < 0 и 0 = 1 для Е > 0).

Наконец, в трехмерном случае все три размера Lx, Ly и Lz устремляются к бесконечности. Результирующая ком-

Рис. 1.1

Сравнение 3D и 2D одночастичных плотностей состояний (вертикальная ось) в функции энергии Е

бинированная плотность состояний в ЗБ-случае имеет следующий аналитический вид:

Эволюция комбинированной плотности от 0D к 3D случаю совершенно очевидна. Действительно, дискретные линии спектра 0D системы становятся все менее и менее «упакованными», если хотя бы один из размеров образца начнет увеличиваться. Когда размеры образца даже в одном из измерений становятся бесконечно большими, соответствующие состояния размерного квантования образуют континуум. В качестве иллюстрации на рисунке 1.1 приведена качественная картина спектров с 2D и 3D плотностями состояний. В приведенном частном примере в области порога каждого перехода одночастичная плотность состояний 2D равна плотности состояний 3D.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >