Глава 23. ОПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

23.1. СВОБОДНЫЙ ЭЛЕКТРОН В ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Вначале давайте рассмотрим точно решаемую задачу о поведении свободного электрона в однородном электрическом поле. Для свободного электрона в однородном и постоянном электрическом поле F используем следующее уравнение Шредингера:

где е — заряд электрона; F — вектор напряженности статического электрического поля. Проекции рх и ру являются интегралами движения, поэтому можно выполнить каноническое преобразование и записать волновую функцию |/(г) следующим образом:

После подстановки этой волновой функции уравнение (23.1) приобретает следующий вид:

где собственные значения энергии равны:

Если ввести безразмерную переменную

то можно привести уравнение (23.3) к стандартному виду:

Решение этого уравнения есть известная функция Эйри. Спектр собственных значений энергии уравнения (23.3) непрерывен и равен:

где величина ег определяется формулой (23.4). Собственные волновые функции имеют следующий вид:

где Ai(Q — функция Эйри; N — нормировочный множитель, определяющий плотность тока вероятности:

Здесь полезно вспомнить некоторые математические свойства функции Эйри. Общее определение функции Эйри имеет следующий вид:

При больших положительных значениях х асимптотическое выражение для Ai(x) равно:

Видно, что при больших положительных значениях аргумента функция Эйри убывает экспоненциально.

С другой стороны, при больших отрицательных значениях х асимптотическое выражение для функции Эйри принимает следующий вид:

Это выражение описывает осцилляции с нулями в точках:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >