ОБЛАСТЬ СИЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

Теперь рассмотрим ситуацию сильного магнитного поля, когда /гсо_с» R_ex. Если ввести безразмерный параметр у = /гсо_с/2 • R_ex, то предел сильного магнитного поля отвечает у» 1. Учтем, что кинетическая и зеемановская энергии являются интегралами движения и перепишем уравнение (22.5) в следующем виде:

В формуле (22.10) введено обозначение

Качественно очевидно, что в очень сильных магнитных полях циклотронные движения электрона и дырки в экситоне вокруг направления магнитного поля происходят с гораздо большей частотой, в сравнении с частотой, характеризующей относительное движение электрона и дырки в экситоне вдоль направления поля. В таких условиях экситонная волновая функция поперек поля сильно сжимается, и исходно сферически симметричный экси- тон приобретает вытянутую вдоль направления магнитного поля сигарообразную форму. Так, например, в случае кристаллов GaAs радиус экситона в отсутствии магнитного поля составляет а_ех = 120 А, тогда как в магнитном поле Н = 10 Т в основном состоянии размер экситона, поперечный направлению Н, становится равным магнитной длине , т. е. уменьшается почти в полтора раза. Вдоль магнитного поля размер экситона также несколько уменьшается, но это уменьшение логарифмически мало, и мы не будем здесь на нем останавливаться.

Итак, очевидно, что при больших напряженностях магнитного поля, у» 1, можно воспользоваться адиабатическим приближением. Для этого введем цилиндрические координаты ф, р, z и представим огибающую волновой функции экситона Ф(г) в следующем виде:

где т — магнитное квантовое число.

Суть приближения состоит в том, что функция /(р, z) зависит от z очень слабо, так что производными 5/5г(/(р, г)) и 6²/5г²(/(р, z)) можно пренебречь. Другими словами, быстрое циклотронное движение вокруг направления магнитного поля адиабатически отслеживает медленное относительное движение электрона и дырки в экситоне вдоль направления магнитного поля. Поэтому мы вправе записать следующие два уравнения:

В этих уравнениях мы пренебрегли зависимостью от ф, так как в начале координат отличны от нуля только волновые функции полностью симметричных состояний, и только для них отличны от нуля вероятности дипольно разрешенных переходов. В уравнении (22.11а), которое описывает циклотронные движения электрона и дырки в экситоне вокруг направления магнитного поля, собственные значения энергии W_n(z) параметрически зависят от z. Сама же функция W_n(z) играет роль потенциальной энергии для относительного движения электрона и дырки в экситоне вдоль поля (см. уравнение (22.116)) и определяет его энергию связи в магнитном поле.

Уравнение (22.11а) сопоставляет каждому уровню Ландау собственное значение энергии W_n(z), которое зависит от z. Поскольку при z —» оо взаимодействие электрона с дыркой исчезающее мало, то в этом пределе:

При уменьшении z величина W„(z) убывает по сравнению с (22.12). Это приводит к появлению в уравнении (22.116) потенциала притяжения, этот потенциал и создает связанные состояния. В результате, благодаря кулоновскому электрон-дырочному притяжению, под каждым уровнем Ландау возникает уровень магнито-экситона, соответствующий связанному состоянию электрона и дырки. Подробное решение уравнений (22.11а) и (22.116) путем численного интегрирования было выполнено Балде- речи и Бассани [5], которые показали, что адиабатическое приближение оправдано вплоть до у = 1 для нижних уровней. На рисунке 22.3 показаны типичные кривые W_n(z) для у = 1, рассчитанные в различных приближениях, а

Рис. 22.3

Адиабатическая потенциальная энергия Щ₀(г) для нижайшего уровня Ландау:

ось 2 совпадает с направлением магнитного поля. Горизонтальной прямой указан нижайший дискретный уровень экситона (п = О, i = 0). Значение магнитного поля выбрано таким, что у = (Лсо_с)/2К_ех = 1. Для сравнения показаны результаты расчета с одномерным кулоновским потенциалом и при расчете по теории возмущений с возмущенным кулоновским потенциалом (по Эллиотту и Лоудо- ну). Согласно работе [5].

также указано положение основного уровня энергии (связанное состояние п = 1, i = 0).

Таким образом, влияние кулоновского взаимодействия проявляется в квантовании одномерной задачи в направлении магнитного поля и в появлении системы подуровней ? под каждой зоной Ландау. Истинные связанные состояния отвечают только основному уровню магнитоэкситона п = 0. Состояния с большим значением п вырождены из-за перекрытия с непрерывным континуумом, отвечающим меньшим п.

Наконец, в заключение сравним результаты расчета формы края полосы поглощения для зона-зонных переходов в случае невырожденных зон: в отсутствии магнитного поля и при его включении, без учета кулоновских корреляций и при включении экситонного эффекта, согласно работе Эллиотта и Лоудона [3, 4] (рис. 22.4).

Рис. 22.4

Сравнение результатов расчета формы края полосы фундаментального поглощения для простых межзонных переходов:

А — в отсутствие кулоновского взаимодействия и магнитного поля; В — с учетом только кулоновского взаимодействия и конечной ширины экситонного уровня (обычный экситонный спектр поглощения); С — при наличии только магнитного поля; D — с учетом кулоновского взаимодействия и магнитного поля. По оси абсцисс отложена энергия в единицах экситонного Ридберга. Ширина экситонной линии поглощения принята равной одному Ридбергу, а величина магнитного поля соответствует безразмерному параметру [i = 2. Из работы Эллиотта и Лоудона [3, 4].

Согласно этой работе, существуют:

• ? связанные состояния;
• ? решения, соответствующие непрерывному спектру, находящиеся в таком же отношении к волновым функциям состояний Ландау, как волновые функции кулоновской задачи к плоским волнам.

Связанные состояния аналогичны волновым функциям экситонных состояний (в данном случае это магнито- экситоны), и переходы в наинизшее из них являются относительно сильными. Кривая В — теоретическая кривая поглощения для дипольно разрешенного экситонного перехода в основное состояние с шириной экситонной линии масштаба экситонного Ридберга. Кривая D — аналогичная кривая, но при включенном магнитном поле такой величины, что параметр у = 2. Таким образом, энергия связи магнито-экситона несомненно возрастает, а поглощение в непрерывном спектре уменьшается. Кривые А и С, найденные без учета кулоновского взаимодействия (в отсутствии экситонного эффекта), существенно отличаются от кривых В и D. К реальным кристаллам данные расчеты неприменимы, однако качественно они верны и наглядно демонстрируют, что в спектрах поглощения объемных полупроводников, помещенных в стационарное магнитное поле, роль кулоновских корреляций и связанных с ними экситонных эффектов, очень существенна.

ЛИТЕРАТУРА

• 1. Lamb, W. Fine Structure of the Hydrogen Atom. P. Ill // Phys. Rev. — 1952. — Vol. 85. — P. 259
• 2. Thomas, D. G. Direct Observation of Exciton Motion in CdS / D. G. Thomas, J. J. Hopfield // Phys. Rev. Lett. — 1961. — Vol. 5. — P. 505.
• 3. Elliott, R. J. Theory of fine structure on the absorption edge in semiconductors / R. J. Elliott, R. Loudon // Phys. Chem. Solids. — Vol. 8. — P. 382-388.
• 4. Elliott, R. J. Theory of the absorption edge in semiconductors in a high magnetic field / R. J. Elliott, R. Loudon // Phys. Chem. Solids. — Vol. 15. — P. 196-207.
• 5. Baldereschi, A. Optical Absorption by Excitons in a Uniform Magnetic Field / A. Baldereschi, F. Bassani // Proc. 10^th Int. Conf. Phys. Semic. Cambridge, Mass. — 1970. — P. 191-196.