ВОДОРОДОПОДОБНЫЙ ЭКСИТОН В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Задача о поведении водородоподобного эксито- на в магнитном поле не решается точно, так как в соответствующих уравнениях переменные не удается разделить. Поэтому остановимся на некоторых подходах и соответствующих приближенных решениях. Все эти подходы основываются на методе эффективной массы, который является достаточно хорошим приближением в случае водородоподобных экситонов в полупроводниках.

Сначала рассмотрим случай слабых магнитных полей, когда циклотронные энергии электрона и дырки в экси- тоне много меньше экситонного Ридберга, йa^ce h ex, т. е. когда магнитное поле является очень слабым возмущением. Воспользуемся симметричной калибровкой векторного потенциала:

Гамильтониан является канонической функцией координат и скоростей, поэтому операторы механического импульса электрона и дырки в экситоне при действующем статическом магнитном поле вне зависимости от калибровки векторного потенциала можно записать следующим образом:

^гД^е Ре.ь = ^V.

В рамках сделанных представлений 2-частичное уравнение Шредингера для огибающей волновой функции эк- ситона F(r_e, r_h), помещенного в магнитное поле Н, в случае немагнитного полупроводника с изотропными эффективными массами и магнитной восприимчивостью р = 1, а также без учета спина запишется в следующем виде:

где г_е и г_л — пространственные координаты электрона и дырки в экситоне.

Введем относительную координату г = г_е - r_h и координату центра масс

а также воспользуемся каноническим преобразованием 2-частичной волновой функции, известным в атомной спектроскопии как каноническое преобразование Лэмба (см. например [1]). Итак, представим волновую функцию экситона в следующим виде:

где Ф(г) — огибающая волновой функции относительного движения электрона и дырки в экситоне. После подстановки (22.4) в уравнение (22.3) и соответствующих преобразований получим:

где Мир — соответственно полная и приведенная эффективные массы экситона; к — собственное значение результирующего импульса, отвечающего движению центра масс экситона. В фигурные скобки, {...}, помещен невозмущенный гамильтониан экситона, который является суммой оператора кинетической энергии относительного движения электрона и дырки в экситоне и энергии их кулоновского взаимодействия в отсутствии магнитного поля.

Уравнение (22.5) не имеет точных решений. Тем не менее, в левой части этого уравнения содержатся три слагаемых, зависящих от магнитного поля, которые молено проанализировать раздельно.

Первый член хорошо известен в атомной спектроскопии, как нормальный эффект Зеемана. Эффект связан с квантованием орбитального момента атома в рассматриваемом нами случае экситона в магнитном поле и соответствующим расщеплением зеемановских компонент. Действительно, в выбранной калибровке это слагаемое равно:

где L = [г, -i/?V] — оператор орбитального момента. В случае экситонов в полупроводниках этот член описывает расщепление экситонных состояний с отличным от нуля орбитальным моментом (орбитальное квантовое число I > 1, т. е. речь идет о р- и более высоких по мультиплетности состояниях). Подчеркнем, что зеемановское слагаемое в гамильтониане (22.5) является интегралом движения.

Второе слагаемое имеет диамагнитную природу. Если выбрать направление магнитного поля Н||г и воспользоваться приведенной выше калибровкой, то получим

Диамагнитный вклад увеличивает энергию основного состояния экситона квадратично с величиной поля, 5E_dia = Xd;_aH². Масштаб диамагнитного «фиолетового сдвига» экситонного терма при заданном магнитном поле определяется диамагнитной восприимчивостью, Хша> которая, в свою очередь, прямо пропорциональна поперечному сечению экситона (формула (22.7)). В этой связи диамагнитная восприимчивость водородоподобных экситонов большого радиуса на несколько порядков превосходит соответствующие восприимчивости атомов, в частности, атома водорода. Например, в случае экситонов в GaAs

где xSa — диамагнитная восприимчивость атома водорода). Исследования диамагнитных сдвигов в спектрах водородоподобных экситонов в области достаточно малых магнитных полей в полупроводниках позволяют независимым образом оценивать размеры экситонов и их энергии связи.

Вклад третьего слагаемого в уравнении (22.5) возникает только при движении экситона перпендикулярно магнитному полю. В этом случае в системе координат центра масс экситона возникает электрическое поле, если в лабораторной системе координат приложено магнитное поле Н. В литературе это явление иногда называют маг- нито-Штарк эффектом. Соответствующая этому вкладу величина энергии равна:

где v — скорость экситона, . Заметим, что приведенные формулы найдены в предположении квадратичного закона дисперсии, но они будут справедливы и в более общем случае, только при этом нужно представить скорость как v = h~¹'V_kE(К).

Возникающее электрическое поле, -i[v,H], (так на-

с

зываемое лоренцевское слагаемое) поляризует экситон, движущийся поперек магнитного поля, и индуцирует в нем статический дипольный момент. Поэтому, например, S-экситоны, движущиеся перпендикулярно магнитному полю, приобретают отличный от нуля орбитальный момент (p-типа) и теперь, в принципе, могут демонстрировать нормальное зеемановское расщепление. Вклад слагаемого (22.8) для экситонов может быть весьма существенен, в сравнении с таким же вкладом для атомов, поскольку эффективные массы трансляционного движения экситонов на много порядков меньше масс атомов. Впервые вклад такого слагаемого в кристаллах CdS обнаружили Томас и Хапфилд [2], которые выполнили элегантные эксперименты с водородоподобными 2S-2P экситонными состояниями и продемонстрировали, что экситоны в кристаллах являются действительно движущимися объектами (квазичастицами). Напомним, что эти эксперименты были выполнены во времена становления концепции водородоподобных экситонов в полупроводниках, поэтому их цен-

Рис. 22.2

Магнито-Штарк эффект в кристаллах CdS [2]: кривая с экспериментальными данными в виде квадратных символов дает штарковское расщепление Р.⁺ -Рг как функцию Е при Н = 31 кЭ.

ность очень высока. Результаты эксперимента представлены на рисунке 22.2.

В постоянном электрическом поле к двухчастичному гамильтониану (22.3) добавляется дополнительное слагаемое (-еЕг), которое в комбинации с (22.8) определяет оператор полного возмущения:

Рассматривая разность энергий состояний экситона 2Р_г-2Р_у как меру эффективного поля Штарка, Томас и Хапфилд [2] включили магнитное поле напряженностью 31 кЭ, а затем, меняя величину электрического поля Е,

почти скомпенсировали вклад от слагаемого . На

рисунке 22.2 видно, что для такой компенсации требуется электрическое поле напряженностью около 100 В/см (это соответствует v/c = 10~⁵, где о — тепловая скорость). По этому значению тепловой скорости и известной температуре кристалла была вычислена полная эффективная масса экситона, значение которой хорошо согласуется с суммой эффективных масс электрона и дырки этого экситона (0,2 и 0,7 от массы свободного электрона, соответственно). Таким образом, Томас и Хапфилд использовали магнитное поле для изучения не только внутренней структуры экситона, но и его свойств трансляционного движения.