ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ И ПОЛУПРОВОДНИКЕ

ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ

При рассмотрении свободных электронов в кристаллической среде их вклад можно отнести как к электропроводности, так и к диэлектрической проницаемости, каждая из этих физических величин является комплексной. Анализируя оптические свойств простого металла[1], рассмотрим вклад свободных электронов в диэлектрическую проницаемость. Будем исходить из уравнения движения свободных электронов в поле электромагнитной волны, которое аналогично уравнению движения для связанных электронов в диэлектрике (выражение (6.2)), если в последнем положить возвращающую силу, -ты%х, равной нулю. Такой подход к решению проблемы был впервые предложен и развит Друде [1]. Следуя этому подходу и полагая в формуле (6.8) е>0 = 0, для комплексной диэлектрической функции металла получим следующее выражение:

Лорендеву поправку в случае простого металла вводить не следует. Эта поправка учитывает разницу между средним и локальным полем. Однако в простом металле волновая функция свободного электрона почти равномерно распределена по элементарной ячейке, так что действующее локальное поле очень близко к среднему. Этот вопрос детально рассмотрен Дарвиным в работе [3]. Будем помнить, что в формуле (16.1) представлена диэлектрическая функция без учета вклада электронов в заполненных оболочках атомных остовов. Этот вклад может быть существенным, и этот вопрос будет рассмотрен несколько позже.

Итак, основываясь на выражении (16.1), для вещественной, еДы), и мнимой, е2(со), частей диэлектрической функции для нормального, простого металла получаем:

Обсудим структуру этих выражений. Есть три величины, имеющие размерность частоты: плазменная частота аР = (Ne2/me0)1/2; коэффициент затухания у и статическая электрическая проводимость а = Ne2/my-1 = <0 — величина, связанная с временем свободного пробега электрона). Видно, что плазменная частота а>Р представляет собой среднее геометрическое частот а/е0 и у, а именно:

Интересно взглянуть на масштабы частот перечисленных выше величин у, оРи а/е0, взяв в качестве примера медь — самый распространенный в электротехнике металл. Перечисленные величины имеют следующие типичные значения:

Угловым частотам этих величин соответствуют следующие длины волн: у отвечает длине волны инфракрасного диапазона около 47 мкм; а>Р соответствует длина волны ультрафиолетового диапазона, примерно равная 1150 А; ст/е0 отвечает рентгеновскому диапазону. В отличие от проводимости, константа затухания и плазменная частота определяют вполне характерные области частот в оптическом спектре металла. Поэтому проанализируем соотношения (16.2)-(16.3) и поведение оптических величин п и к при непрерывном переходе от очень высоких частот к самым низким.

Итак, пусть со > сор, т. е. мы находимся в рентгеновском диапазоне. Поскольку со» у, затуханием можно пренебречь. В этой области произведение 2лу = 0, так что поглощение, определяемое величиной к, также будет пренебрежимо мало. Таким образом, выражение (16.2) принимает вид:

Видно, что в области высоких частот, а» > оР, простой металл (в рамках модели «желе») полностью прозрачен для электромагнитного излучения. Однако непосредственно использовать полученный результат в теории реальных металлов следует с большой осторожностью, поскольку с учетом взаимодействия электронов с решеткой (это в большей степени касается легированных полупроводников), а также с учетом электронов заполненных оболочек атомных остовов выражение (16.5) может оказаться неприменимым. Тем не менее, при достаточно высоких энергиях вклад, вносимый перечисленными причинами в случае простых металлов, является незначительным и формула (16.5) становится приближенно верной.

Плазменную частоту можно найти, определяя точку в шкале энергий, в которой е(со) = с^со) + ге2(оэ) = 0. Так, щелочные металлы довольно хорошо описываются моделью «желе», и для этих металлов плазменная частота составляет величину порядка 1016 с-1. Это означает, что в ультрафиолетовой области спектра, на частотах со > аР, эти

Рис. 16.1

Типичное поведение коэффициента экстипкции и показателя преломления для простого металла

металлы оказываются практически прозрачными, что является хорошо известным экспериментальным фактом, впервые установленным Вудом [4] (см. график к(со) для простого металла на рис. 16.1).

Далее, если га значительно превышает гаР, то показатель преломления будет несколько меньше единицы. Этот факт, состоящий в том, что в области рентгеновского диапазона показатель преломления у металлов лишь немного меньше единицы, надежно установлен экспериментально. В рентгеновском диапазоне это остается в силе даже при учете поляризуемых диполей атомных остовов.

Когда частота становится меньше плазменной, га < га^,

величина становится отрицательной, и

поэтому следует брать другое решение уравнений (16.2)— (16.3):

Пока величина у «: га, произведение 2/гк = 0, но теперь в этих условиях п = 0 при к * 0.

Итак, при частотах меньших плазменной, га < гаР, электромагнитные волны должны сильно затухать, и сама величина затухания возрастает по мере уменьшения частоты (см. рис. 16.1, а также рис. 16.2 для серебра и ртути из работы Шульца [5]).

Напомним, что коэффициент отражения:

Спектры отражения металлов демонстрируют достаточно хорошо очерченный плазменный край: на частотах

Рис. 16.2

Поведение показателя преломления п/Х, коэффициента экстинкции к/Х и коэффициента отражения металла на границе с воздухом Rair в функции длины волны X в микронах, рассчитанные в рамках теории Друде:

а — для серебра, хорошего металла; б — жидкой ртути, плохого металла. На рисунках указаны плотность электронов N (см 3) и электронная проводимость а 1) для кажого металла. Пунктиром изображена область скин-эффекта. Из работы Шульца [5].

оз < аР, вблизи плазменной частоты, резко вырастает коэффициент отражения, сохраняющий большую величину вплоть до самых низких частот. Поэтому металлы, как правило, демонстрируют характерный «металлический блеск» (рис. 16.2). Согласно модели Друде, отражение металлов очень резко падает в диапазоне 0 < < 1, т. е. при

частоте несколько большей ь)Р. Если с2 = 0 (к = 0), то коэффициент отражения уменьшается до нуля при Sj = 1. Именно это уменьшение отражения и называется плазменным краем или краем Друде. У большинства металлов, тем не менее, не происходит падения отражения до нуля. Это обусловлено вкладом в диэлектрическую функцию межзонных переходов связанных электронов, о чем пойдет речь в п. 16.2.

Теперь рассмотрим область еще более низких частот, оз <к у, соответствующих микроволновому и радиочастотному диапазонам. В этой области, согласно выражению (16.2):

Видно, что правая часть выражения (16.7) имеет большое и отрицательное постоянное значение, так как в рассматриваемой области у «: озр. Из соотношения (16.3) следует, что в этом случае 2лк = оз|,/озу, следовательно, произведение пк будет неограниченно возрастать при оз —» 0. Поскольку разность (л2 - к2) стремится к постоянной величине, а сами п и к возрастают при низких частотах, это означает, что в пределе оэ —> 0 коэффициенты лик сравниваются (см. рис. 16.2а и б). Поэтому в этом предельном случае, если воспользоваться соотношением (16.4), получаем:

Это означает, что при достаточно низких частотах (в микроволновом диапазоне), оптическое поведение определяется обычной низкочастотной электрической проводимостью.

Спектральная зависимость, описываемая выражением (16.8), наблюдалась Хагеном и Рубенсом [6] на основании экспериментальных исследований отражения металлических зеркал в далекой инфракрасной области. Эта экспериментальная работа появилась практически одновременно с теоретическими исследованиями Друде [1] и послужила одним из подтверждений их справедливости.

При изучении поведения металлов в области низких частот (микроволновый и радиочастотный диапазоны) более естественно считать, что свободные электроны обусловливают в первую очередь электропроводность, а не поляризацию. Если рассмотреть уравнение движения свободного электрона в металле под действием поля плоской электромагнитной волны, распространяющейся в направлении х, то для скорости электрона получим выражение:

Плотность электрического тока, J = -Nex, связана с электрическим полем соотношением:

Тогда комплексная электрическая проводимость а(ю) окажется равной:

При самых низких частотах проводимость стремится к предельной статической величине:

однако в общем случае она зависит от частоты в соответствии с выражением (16.11). Описание оптических свойств металла на языке поляризации, или же проводимости, в сущности, являются альтернативными способами описания одного и того же явления.

Определим теперь величину затухания электромагнитной волны в металле в низкочастотной области. Для амплитуды электрического поля волны в металле при нормальном падении можно написать:

Напряженность поля волны падает в е раз на расстоянии с/еж. Это расстояние называют глубиной скин-слоя и обозначают символом 8. В результате, пользуясь выражением (16.8), для толщины скин-слоя получаем:

где р0 — магнитная восприимчивость вакуума.

При сильном охлаждении электропроводность металла существенно возрастает вследствие увеличения времени свободного пробега t0, или уменьшения затухания у. Это сильно затрагивает оптические свойства в длинноволновой области спектра. Возникают и другие, качественно новые особенности: вместе со временем t0 значительно возрастает длина свободного пробега электронов, которая становится больше, а при глубоком охлаждении в высокосовершенных образцах существенно больше глубины скин-слоя. В таких условиях следует учитывать тот факт, что электроны, находящиеся глубже скин-слоя, там, где электрическое поле мало, проникают в область скин-слоя еще до того, как они испытают соударения. Явления, которые возникают в таких низкотемпературных условиях, получили название аномального скин-эффекта. В качестве примера можно отметить разнообразные резонансные, размерно-резонансные радиочастотные и микроволновые методы изучения Ферми-поверхностей в металлах, использующие явление аномального скин- эффекта (см. например [7, 8]). Однако эта очень интересная проблематика выходит за пределы настоящего курса, и мы не будем на ней останавливаться.

  • [1] Под простыми подразумеваются металлы, у которых электроны проводимости проистекают только из атомных s- или р-оболочек. Примерами могут служить щелочные металлы, алюминий, у которого электроны проводимости происходят из (3s)2- и Зр-валентной оболочки.В рамках простой модели «желе», предложенной еще Зоммерфельдом,положительные ионы заменяются равномерно размазанным положительным зарядом, или фоном, благодаря которому выполняется обязательное условие электрической нейтральности образца. Модель «желе»содержит лишь один параметр — концентрацию электронов л0, или среднее межчастичное расстояние. Металлы с незаполненными d-оболочками являются отдельным предметом и здесь рассматриваться не будут.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >