КВАНТОВОЕ РАССМОТРЕНИЕ МЕЖЗОННЫХ ПЕРЕХОДОВ И ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

Теперь остановимся на последовательном квантовом рассмотрении межзонных оптических переходов. В таком подходе учтем, что электромагнитное поле должно быть проквантовано. Для этого можно использовать следующее выражение для векторного потенциала:

где a — различные возможные состояния поляризации; ^ак.« ^{и a}k,u — операторы уничтожения и рождения соответственно. Тогда энергия электромагнитного поля в представлении вторичного квантования может быть записана как сумма энергий независимых гармонических осцилляторов в виде:

В формуле (10.2) п_{к и} определяет числа заполнения, которые соответствуют собственным значениям энергии Йсо_к и волновой функции поля излучения:

Гамильтониан системы Но, среда плюс поле фотонов, равен:

а соответствующая гамильтониану (10.4) невозмущенная волновая функция имеет мультипликативный вид:

где г, и s, означают пространственные и спиновые координаты электронов. Ядра в данной задаче предполагаются покоящимися, поэтому рассматриваются только электронные степени свободы.

Гармоническое возмущение, или оператор электрон- фотонного взаимодействия, H_eR, в общем случае равен:

При рассмотрении оптических переходов обычно ограничиваются первым слагаемым в операторе возмущения (10.6). Следует также иметь в виду, что операторы X, и р, не коммутируют. С помощью возмущения (10.6) оптические переходы могут быть рассчитаны во всех порядках нестационарной теории возмущений при использовании волновой функции материальной системы, взаимодействующей с полем фотонов, в виде:

Так, в первом приближении нестационарной теории возмущений для вероятности перехода в единицу времени с испусканием фотона (в пределе больших времен) получаем:

а для вероятности перехода с поглощением фотона соответственно, имеем:

В формулах (10.8) и (10.9) матричный элемент оператора импульса записывается в виде:

Далее ограничимся дипольным приближением:

В этом случае для мнимой части диэлектрической проницаемости в расчете на единичный объем, пользуясь формулой (10.9) для вероятности перехода с поглощением фотона, получим следующее выражение:

где /(?„), f(E_n ) — фермиевские числа заполнения.

Приведенные выше выражения позволяют проводить вычисления мнимой части диэлектрической функции при условии известной электронной структуры полупроводников. Реальная часть диэлектрической функции в актуальной области спектра может быть затем вычислена с использованием соотношений Крамерса — Кронига.