КВАНТОВОЕ РАССМОТРЕНИЕ МЕЖЗОННЫХ ПЕРЕХОДОВ И ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
Теперь остановимся на последовательном квантовом рассмотрении межзонных оптических переходов. В таком подходе учтем, что электромагнитное поле должно быть проквантовано. Для этого можно использовать следующее выражение для векторного потенциала:
где a — различные возможные состояния поляризации; ак.« и ak,u — операторы уничтожения и рождения соответственно. Тогда энергия электромагнитного поля в представлении вторичного квантования может быть записана как сумма энергий независимых гармонических осцилляторов в виде:
В формуле (10.2) пк и определяет числа заполнения, которые соответствуют собственным значениям энергии Йсок и волновой функции поля излучения:
Гамильтониан системы Но, среда плюс поле фотонов, равен:
а соответствующая гамильтониану (10.4) невозмущенная волновая функция имеет мультипликативный вид:
где г, и s, означают пространственные и спиновые координаты электронов. Ядра в данной задаче предполагаются покоящимися, поэтому рассматриваются только электронные степени свободы.
Гармоническое возмущение, или оператор электрон- фотонного взаимодействия, HeR, в общем случае равен:
При рассмотрении оптических переходов обычно ограничиваются первым слагаемым в операторе возмущения (10.6). Следует также иметь в виду, что операторы X, и р, не коммутируют. С помощью возмущения (10.6) оптические переходы могут быть рассчитаны во всех порядках нестационарной теории возмущений при использовании волновой функции материальной системы, взаимодействующей с полем фотонов, в виде:
Так, в первом приближении нестационарной теории возмущений для вероятности перехода в единицу времени с испусканием фотона (в пределе больших времен) получаем:
а для вероятности перехода с поглощением фотона соответственно, имеем:
В формулах (10.8) и (10.9) матричный элемент оператора импульса записывается в виде:
Далее ограничимся дипольным приближением:
В этом случае для мнимой части диэлектрической проницаемости в расчете на единичный объем, пользуясь формулой (10.9) для вероятности перехода с поглощением фотона, получим следующее выражение:
где /(?„), f(En ) — фермиевские числа заполнения.
Приведенные выше выражения позволяют проводить вычисления мнимой части диэлектрической функции при условии известной электронной структуры полупроводников. Реальная часть диэлектрической функции в актуальной области спектра может быть затем вычислена с использованием соотношений Крамерса — Кронига.