МЕЖЗОННЫЕ ПЕРЕХОДЫ И СПЕКТРОСКОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

В настоящем разделе ставится цель проанализировать, как взаимосвязаны между собой зонная энергетическая структура полупроводников и их оптические свойства. Поскольку данная тема весьма обширна, мы ограничимся здесь межзонными оптическими переходами на основе квантовой теории. Помимо этого будут обсуждены два очень поучительных примера: случаи прямых и непрямых оптических переходов. Явления внутризонно- го поглощения, в частности поглощение света свободными носителями в металле, или легированном полупроводнике, будут рассмотрены в отдельном разделе.

ОБЩИЙ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ МЕЖЗОННЫХ ОПТИЧЕСКИХ ПЕРЕХОДОВ

Для решения задачи о межзонных оптических переходах используем полуклассический подход, а именно: электромагнитное поле будем рассматривать как классическое, а для электронов в кристалле используем их квантовое представление в виде блоховских волн. Такое рассмотрение не является строгим в сравнении с полностью квантово-механическим подходом, при котором вводится квантование электромагнитного поля в виде фотонов. Тем не менее, такой подход привлекает своей простотой и прозрачностью. Наиболее существенно, что в рамках такого подхода получаемые результаты оказываются такими же, что и при строгом квантово-механическом рассмотрении.

Прежде всего, нам нужно найти гамильтониан, который описывает взаимодействие между внешним электромагнитным полем и электронами в полупроводнике. Запишем невозмущенный одноэлектронный гамильтониан в виде:

где V(r) — периодический решеточный потенциал. Для описания электромагнитного поля введем векторный, А (г), и скалярный, Ф(г), потенциалы, соответственно. Подчеркнем, что вследствие калибровочной инвариантности выбор этих потенциалов не является однозначным. Тем не менее, без потери общности будем пользоваться калибровкой Кулона, согласно которой

а из условия Лоренца и (9.2) следует

При таком выборе калибровки для магнитного и электрического полей получаем следующие выражения:

где с — скорость света. Квантово-механический гамильтониан, описывающий движение заряда —е во внешнем электромагнитном поле можно найти, заменив оператор импульса электрона р в (9.1) на + е/с ? А]. В результате получим:

Следует учесть, что оператор импульса р не коммутирует с А(г), однако благодаря выбранной калибровке это не привносит каких-либо сложностей. Будем также пренебрегать нелинейными эффектами, считая интенсивность электромагнитного поля достаточно слабой, и поэтому опустим слагаемое А2. Результирующий гамильтониан взаимодействия блоховского электрона с электромагнитным полем приобретает следующий вид:

Если сравнить это выражение с невозмущенным гамильтонианом 7Y0, видно, что именно слагаемое (е/тс)А • р описывает взаимодействие электромагнитного поля с блохов- ским электроном. Этот член получил название гамильтониана электрон-излучательного (или электрон-фотонного, если электромагнитное поле проквантовано) взаимодействия, ?4К :

В дальнейшем мы будем использовать этот гамильтониан как нестационарное гармоническое возмущение, стимулирующие оптические переходы как поглощательные, так и излучательные.

Существует и другая форма гамильтониана T~Qr, которая часто встречается в литературе, а именно:

В длинноволновом пределе, т. е. при малых волновых векторах световой волны (или фотона) q, представления (9.7) и (9.8) эквивалентны и соответствуют дипольному приближению. Однако гамильтониан (9.7) по сравнению с (9.8) имеет более общий характер. В частности, гамильтониан (9.7) учитывает при взаимодействии с электромагнитным полем действие на электрон силы Лоренца, что отсутствует в гамильтониане (9.8).

Если на электронную систему в кристалле действует электромагнитная волна заданной частоты со, то векторный потенциал А (г, t) можно представить в виде:

где е0 — единичный вектор поляризации, параллельный вектору электрического поля электромагнитной волны; q — волновой вектор электромагнитной волны; к.с. — означает комплексно сопряженное слагаемое первому члену в (9.9). Мы будем рассматривать только первое слагаемое в (9.9), ответственное за поглощательные переходы.

Согласно элементарной квантовой механике в первом приближении нестационарной теории возмущений вероятность перехода из начального состояния |/) с энергией Ej в конечное состояние |/) с энергией Ef под действием возмущения Н*(е + е~'м'), где Н* — не зависящая от времени часть возмущения дается выражением, известным как «золотое правило квантовой механики», или правило Ферми:

Возмущение Н’ • е~ш вызывает переходы с поглощением кванта йсо, тогда как возмущение Н* ? еш приводит к испусканию кванта йы. При изучении оптического возбуждения из основного состояния кристалла надо рассматривать в выражении (9.10) только слагаемое, отвечающее поглощению. Слагаемое в формуле (9.10), соответствующее испусканию света, вступает в роль при рассмотрении излучательных переходов, связанных с электронами, находящихся в возбужденном состоянии (явления люминесценции, излучательной рекомбинации и пр.).

Во втором приближении теории возмущений вероятность перехода записывается следующим образом:

Здесь символом |(J) обозначены все промежуточные (виртуальные) состояния, и по этим состояниям ведется суммирование в формуле (9.11). Матричные элементы в (9.11) соответствуют следующей последовательности процессов: во-первых, система совершает переход из основного |i) в промежуточное |Р) состояния и, во-вторых, из промежуточного в конечное |/}. При переходе в промежуточное состояние энергия не сохраняется, сохранение энергии происходит между начальным и конечным состояниями.

Аналогичным образом можно записать вероятность перехода и в более высоких приближениях теории возмущений. Следует при этом иметь в виду, что под знаком 5- функции будет стоять выражение с числом поглощенных или испущенных квантов, равным порядку перехода.

Рассчитаем теперь вклад в оптические постоянные, происходящий в результате оптического перехода между одной парой зон — полностью заполненной валентной и пустой зоной проводимости. Представим блоховские волновые функции для электронов в зоне проводимости |с) и дырок в валентной зоне |п) в следующем виде:

Для вероятности поглощательного перехода в единицу времени между потолком валентной зоны и дном зоны проводимости (см. рис. 9.1), под действием возмущения (9.7), запишем:

где т — масса свободного электрона; с — скорость света в вакууме; е0 — единичный вектор поляризации, р — оператор импульса; s„ Sj— спиновые индексы. Полученное выражение и составляет основу для вычисления оптических констант в области спектра, соответствующей межзонным оптическим переходам. Подчеркнем, что электрон- фотонный гамильтониан (9.7) или (9.8) не затрагивает спиновые степени свободы, сохраняя спиновую ориентацию электрона в результате рассматриваемого оптического перехода неизменной.

Остановимся на вычислении самого матричного элемента в выражении для вероятности перехода (9.14). Действие оператора р на uukv exp(/kvr) даст два слагаемых в подынтегральной части. Интеграл от второго слагаемого, /ikvuUtkv exp(/kvr), умноженного на и’к , обращается в нуль по той причине, что искс и ul!ikv ортогональны. Оставшийся интеграл можно разбить на две части, полагая г = Rj + г', где Rj — вектор решетки, а г' — находится в пределах одной элементарной ячейки. В результате для интеграла, соответствующего матричному элементу оптического перехода, находим:

В первом сомножителе выражения (9.15) суммирование по всем векторам решетки Rj дает дельта-функцию, 5(q - kc + kv), что обеспечивает сохранение волнового вектора в процессе оптического перехода, а именно:

Уравнение (9.16) является прямым следствием трансляционной симметрии кристалла и должно выполняться во всех процессах, которые происходят в идеальном кристалле. Этот закон сохранения волнового вектора может нарушаться, но только в сильно неупорядоченных средах, в частности, в аморфных полупроводниках.

При рассмотрении оптических переходов в типичных прямозонных полупроводниках вблизи фундаментального края их собственного поглощения следует иметь в виду,

что волновые вектора фотонов, (где п — показатель преломления кристалла; X — длина волны фотона) на несколько порядков меньше бриллюэновских волновых векторов кристалла. Типичное отношение

где а0 — постоянная решетки кристалла.

Если также учесть, что волновые вектора kv и кс. ограничены пределами первой зоны Бриллюэна, можно принять:

Рис. 9.1

Одноэлектронная зонная схема с вертикальными, дипольно-разрешенными оптическими переходами, вызванными электромагнитным полем излучения

Таким образом, мы приходим к заключению, что под действием исключительно электромагнитного поля излучения могут происходить только «вертикальные», или прямые («direct»), оптические переходы в схеме энергетических зон так, как это продемонстрировано качественно на рисунке 9.1. Итак, условие (9.16) отражает закон сохранения волнового вектора (или импульса), а соотношение (9.17) отвечает непосредственно дипольному приближению.

Теперь мы можем упростить выражение (9.14) для вероятности оптического перехода в единицу времени и переписать его в следующем виде:

В формуле (9.18)

Интеграл (9.19) берется по объему элементарной ячейки кристалла, а соответствующий матричный элемент в этом выражении называется матричным элементом электрического дипольного перехода. Полезно также отметить, что электрическое дипольное приближение эквивалентно разложению в ряд Тейлора члена

и пренебрежению всеми слагаемыми разложения, зависящими от q. Отсюда непосредственно приходим к выражению (9.17) и к заключению о вертикальности разрешенных электрически-дипольных оптических переходов.

Если электрический дипольный матричный элемент равен нулю, то оптический переход будет определяться следующим членом разложения в ряд Тейлора, а именно (q V кис к) в формуле (9.19). В этом случае получим матричный элемент:

который описывает электрически-квадрупольные или магнитно-дипольные переходы. Эти оптические переходы обусловлены членом /(q ? г), т. е. более высоким порядком в разложении exp(/qr). По сравнению с электрически- дипольными переходами электрически-квадрупольные и магнито-дипольные переходы на несколько порядков более слабые, а именно в отношении (а0)2 раз, где а0 — постоянная кристаллической решетки, а к — длина световой волны в среде.

Теперь, если мы хотим найти полное число переходов, П(со), вызываемых светом с частотой со, в единицу времени и в единичном объеме среды, то следует просуммировать величину (9.18) по всем возможным состояниям в данном объеме. Для этого следует выполнить суммирование по всем компонентам волнового вектора к, по спиновой переменной s и по зонным индексам и и с для заполненных и пустых зон соответственно. Учтем также, что разрешенные значения к заполняют зону Бриллюэна в объемных (3-мерных) кристаллах с плотностью У/(2л)3, где V —объем кристалла).

В результате получим:

Интегрирование в (9.21) ведется в пределах первой зоны Бриллюэна, а множитель 2 учитывает суммирование по спиновым переменным.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >