6.2. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ

ТЕОРИЯ ЛОНДОНОВ

Первой теорией, описывающей свойства сверхпроводников, была теория Лондонов, опубликованная в 1935 г. и основанная на «двухжидкостной» модели сверхпроводника. В этой модели предполагается, что в сверхпроводнике существуют два типа электронов: «нормальные» с концентрацией пп(Т) и «сверхпроводящие» с концентрацией па(Т). Величина концентрации л, приближается к полной концентрации п, когда температура Т значительно меньше критической Тс, но падает до нуля, когда Т стремится к Тс.

Лондоны получили уравнение, связывающее сверхпроводящий ток с плотностью у и электрическим полем Е, а также уравнение для магнитного поля В, обусловленного током ].

Пусть в сверхпроводнике мгновенно возникло электрическое поле Ё. Запишем уравнение движения для единичного объема сверхпроводящих электронов, находящихся в поле Е

Учитывая, что плотность сверхтока у = -еп3У8, имеем

Из этого уравнения следует, что в стационарном состоянии, когда

4/

сН

- 0, электрического поля в сверхпроводнике нет (? = 0).

Найдем связь между сверхтоком и магнитным полем в сверхпроводнике. Подставив в уравнение Максвелла (представляющее собой закон электромагнитной индукции Фарадея)

Е из (6.13), получим соотношение между плотностью тока у и магнитным полем В

где введено обозначение:

Уравнение (6.15) совместно с другим уравнением Максвелла

определяет магнитные поля и плотности тока, которые могут существовать в проводнике с нулевым сопротивлением. Подставив ] из (6.16) в уравнение (6.15) и учитывая тождество векторного анализа го1гЫВ = -ДВ + УсИчВ и то, что сИуВ = 0, получим

или

Мы получили дифференциальное уравнение, которому соответствует поле В. Его решением для полубесконеч- ного образца является

где —значение на поверхности проводника.

Лондоны предположили, что уравнение (6.18) может описать магнитные свойства сверхпроводника, если его

применить не только к , но и к самому В:

Если это так, то магнитное поле спадает внутрь сверхпроводника по закону

так что внутри образца поле В будет равно нулю.

Напомним, что уравнение (6.18) было получено из (6.12). Требуемое для обоснования идеального диамагнетизма уравнение (6.18) также получено из уравнения (6.15) при более жестком условии. Выражение в квадратных скобках в уравнении (6.15) должно быть равно нулю. Это приводит к соотношению

Рис. 6.7

Изменение магнитного поля у поверхности сверхпроводника

Это уравнение и уравнение (6.13) известны как уравнения Лондонов. По существу, они представляют собой ограничения, наложенные на обычные уравнения электромагнетизма и введенные для согласования с экспериментальными результатами.

На рис. 6.7 показано, как поле В проникает в глубь сверхпроводника. В соответствии с (6.21) внутри сверхпроводника поле спадает экспоненциально и на расстоянии х — X достигает

значения, равного — В0. Вели-

е

чина X получила название лон- доновской глубины проникновения. Считая, что при Т = О К все электроны становятся сверхпроводящими, т. е. л5(0) = п * 1022 см'3, получим значение такой глубины 1.(0) « 10 е см. Таким образом, при Т <кТс магнитное поле проникает в сверхпроводник на глубину нескольких атомных слоев.

Зная характер изменения магнитного поля (6.21), из уравнения (6.16) можно получить распределение тока в сверхпроводнике

Видно, что ток будет течь только в приповерхностном слое толщиной порядка 1, где магнитное поле отлично от нуля. Таким образом, можно констатировать, что идеальный диамагнетизм сверхпроводника является следствием возникновения поверхностных токов, текущих без сопротивления. Эти токи циркулируют так, что создаваемый ими магнитный поток внутри сверхпроводника равен по величине и противоположен по знаку потоку, создаваемому внешним магнитным полем.

Микроскопическая теория сверхпроводимости была построена Бардиным, Купером и Шриффером в 1957 г. Исходным пунктом этой теории служит наличие эффективного притяжения между электронами вблизи поверхности Ферми. Хотя прямое электростатическое взаимодействие приводит к отталкиванию, может оказаться, что за счет движения ионов кулоновское взаимодействие будет «переэкранированным» и возникнет результирующее притяжение между электронами с достаточно близкими энергиями. Это притяжение лежит в основе теории сверхпроводимости.

Взаимодействие электронов через решетку проще всего представить как результат испускания фонона одним электроном и поглощения его другим.

Рассмотрим металл при Т = О К. Как взаимодействуют электроны через фононы, если при абсолютном нуле температуры никаких фононов нет?

Пусть электрон, имеющий квазиимпульс р1 (или волновой вектор fe,), движется по кристаллу. В какой-то момент времени он возбудил колебание решетки (т. е. испустил фонон), а сам при этом перешел в другое состояние с квазиимпульсом р[ (или волновым вектором k[). В процессе испускания электроном фонона квазиимпульс сохраняется:

где q — квазиимпульс фонона, величина которого

(со^ — частота фонона; v3B — скорость звука). Этот фонон почти мгновенно окажется поглощенным вторым электроном, имеющим до взаимодействия квазиимпульс р2. При этом

Таким образом, в результате обмена фононами электроны из состояния рх и р2 № и /г2) перешли в состояние р'х и р<2 (/г{ и Значит, произошло рассеяние электронов друг на друге. При этом

или

Но рассеяние двух частиц может существовать только в том случае, если они взаимодействуют. Если возникшее за счет обмена фононами электрон-электронное притяжение превысит кулоновское отталкивание, то результатом взаимодействия между электронами будет притяжение и возможность образования связанных пар электронов. При этом энергия всего коллектива электронов понизится. Возникает новое состояние электронной системы, переход в которое энергетически выгоден.

Фонон, которым обмениваются электроны, называют виртуальным. В отличие от реального фонона, он связан с поляризацией решетки и может существовать только при переходе от одного электрона к другому. В противоположность реальным виртуальные фононы не могут рассматриваться в решетке независимо от этих электронов.

В процессе испускания фонона первый электрон переходит ИЗ СОСТОЯНИЯ Их в состояние И{. Очевидно, что последнее возможно лишь вблизи поверхности Ферми, представляющей собой сферу радиуса в ^-пространстве. Таким образом, через фононы могут взаимодействовать лишь электроны, лежащие в достаточно узком сферическом слое 2АИ около поверхности Ферми. Толщина слоя 2А/г определяется дебаевской энергией Лсод:

где

Для электронов, имеющих энергию вне этого интервала, решетка движется медленно и не успевает откликаться на поляризующее действие движущегося электрона.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >