ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ КРИСТАЛЛОВ
На динамику электронов в кристалле существенное влияние оказывают различного рода дефекты кристаллической решетки, на которых может рассеиваться электронная волна. Кроме того, большое значение имеет рассеяние на фононах. При высоких температурах, когда фононов много, это влияние проявляется особенно сильно.
Характерные графики рассеяния приведены на рис. 3.11а, где изображено рассеяние электрона, приводящее к возникновению фонона. Возможен и обратный процесс — поглощение фонона электроном. На рис. 3.116 приведена схема рассеяния фонона на электроне. Во всех этих процессах сохраняются энергия и импульс (с учетом явления переброса).
Схемы рассеяния электронов на фононах
Рис. 3.11
Процессы рассеяния характеризуются длиной А. и временем т свободного пробега (это время часто называют временем релаксации). Рассчитаем с помощью этих параметров электропроводность металлических кристаллов.
Под действием электрического поля с напряженностью Е электроны проводимости приобретают ускорение
Под действием силы Е = еЕ электрон начинает двигаться равноускоренно, однако возрастание скорости не может длиться до бесконечности. Столкновение с решеточными дефектами приводит к тому, что приобретенная скорость в направлении электрического поля падает практически до нуля; цикл «ускорение-рассеяние» будет периодически повторяться. В результате, производя усреднение по всем электронам,найдем
Средняя скорость электрона, которую они получают под действием электрического поля, называется дрейфовой скоростью. Видно, что она пропорциональна напряженности поля Е, их отношение называется подвижностью электрона р
Используя (3.84), можно получить формулу для электропроводности металлов. В соответствии с локальным законом Ома электропроводность а связана с плотностью у
электрического тока соотношением
, где п —
концентрация электронов. С помощью (3.83) и (3.84) найдем
Видно, что столкновение электронов приводит к тому, что под действием постоянной силы электроны приобретают не постоянное ускорение, а постоянную среднюю скорость.
Теперь рассмотрим, как изменение температуры сказывается на процессах рассеяния электронов при их движении в кристалле. Это влияние может проявиться через изменение п и изменение х. В металлах проводимость связана с присутствием электронов в зоне проводимости. Их плотность п мало зависит от температуры. Основную роль играет уменьшение т при нагревании.
Электронный газ в металлах является вырожденным. Следовательно, вклад в проводимость вносят не все электроны, а только те, энергия которых близка к энергии
Ферми. Для них в качестве времени релаксации нужно взять величину
где — скорость Ферми. Если рассеяние электронов осуществляется фононами, то очевидно, что длина свободного пробега электронов X должна быть обратно пропорциональна концентрации фононов (X ~ п"1), т. е. в области высоких температур
Поскольку О// от температуры не зависит, получаем, что время релаксации при высоких температурах обратно пропорционально температуре. Так как подвижность электронов прямо пропорциональна времени релаксации, то для вырожденного электронного газа
Как отмечалось ранее, концентрация п вырожденного электронного газа от температуры не зависит. Поэтому в области высоких температур удельное сопротивление металла
растет с температурой линейно только
из-за изменения подвижности.
При понижении температуры концентрация фононов падает, и существенным становится другой вид рассеяния — на ионах примеси и дефектах, содержащихся в кристалле. Как правило, примеси и дефекты заряжены. Ионы примеси отклоняют электроны, движущиеся вблизи них, и тем самым уменьшают их скорость в первоначальном направлении. Отклонение оказывается более заметным для носителей, движущихся с малыми скоростями: чем выше их скорость, тем быстрее они пролетают мимо иона, не успевая отклониться на большой угол.
Впервые задача о рассеянии заряженных частиц заряженными центрами была решена Э. Резерфордом.
Аналогичный расчет к случаю проводимости показывает, что подвижность электронов, обусловленная рассеянием на заряженных дефектах, для вырожденного электронного газа не зависит от температуры
так как не меняется с температурой. Этот результат объясняет, почему при низких температурах удельное сопротивление металла не изменяется.
