ПРИЛОЖЕНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ

КЛАССИФИКАЦИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ НО ТИПУ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА

Рассмотрим, как изменятся состояния электронов при сближении атомов на примере натрия. Пусть N атомов N3 расположены в виде пространственной решетки набольших

Рис. 3.6

Энергетическая схема двух изолированных атомов натрия

Рис. 3.7

Энергетическая схема двух атомов натрия, сближенных на расстояние, равное параметру решетки кристалла натрия

расстояниях г друг от друга и взаимодействием между ними можно пренебречь. Каждый такой атом можно рассматривать как свободный (см. рис. 3.6). Электроны находятся в потенциальной яме, образованной кулоновским полем ядра. На уровне Ія и 2в располагается по два электрона, на уровне 2р — шесть электронов, на уровне Зв — один электрон. Уровни, лежащие выше уровня Зв, — свободные. Атомы отделены друг от друга потенциальными барьерами ширины г и высотой, различной для электронов, находящихся на разных уровнях.

Потенциальный барьер препятствует свободному переходу электронов от одного атома к другому. В верхней части рис.3.6 показана картина распределения вероятностей со обнаружения электронов Зв и 2я на расстоянии г от ядра.

Пусть решетка Иа медленно сжимается. При этом взаимодействие между атомами начинает расти и на расстояниях г, равных сі — постоянной решетки, достигает обычной для металлов величины.

Из рис. 3.7 видно, что потенциалы отдельных атомов начинают частично накладываться друг на друга. Сближение атомов вызывает уменьшение не только ширины потенциального барьера, но и его высоты. Поэтому электроны могут практически переходить от одного атома к другому и свободно перемещаться по кристаллу. В то же время состояние внутренних электронов в кристалле остается почти таким же, как и в изолированных атомах.

Взаимодействие атомов при образовании кристаллической решетки приводит к еще одному важному результату — расширению энергетических уровней атомов и превращению их в кристалле в энергетические зоны. Это расширение является следствием волновых свойств электронов и связано с уменьшением степени их локализации в кристалле по сравнению с изолированными атомами.

В кристалле все электроны приобретают возможность переходить от одного атома к другому за счет туннелирования через разделяющий атомы потенциальный барьер. Наличие таких переходов уменьшает степень локализации электронов на определенных атомах и приводит к неопреРис. 3.8

Прямоугол ьный ютенциальный барьер конечной ширины

деленности в значениях их энергий и превращению энергетических уровней в полосы или зоны. Для оценки порядка ширины этих зон заменим барьеры, разделяющие атомы, барьерами прямоугольной формы (рис. 3.8).

Прозрачность (вероятность проникновения через барьер) такого барьера определяется формулой

где и - Е — высота барьера; й — его ширина. Если ширина потенциальной ямы, в которой находится электрон, равна а, а скорость его движения и, то за одну секунду электрон подойдет к барьеру — раз. Умножая — на Л, полу-

а а

чим «частоту» перехода V электрона в соседний атом:

Величина т, обратная V, выражает среднее время пребывания электрона у определенного атома. Примем ширину барьера для валентных электронов равной <1 = 1 А.Подставив это значениес1 в формулу, получим у= 10¹⁵с^-1, 10 ¹⁵ с.

Таким образом, за счет квантового туннелирования электрон в кристалле в среднем в определенном узле решетки находится лишь время т = 10 ¹⁵ с. В соответствии с соотношением неопределенностей это приводит к тому, что неопределенность в значении энергии таких электронов равна АЕ * 1 эВ. Это означает, что энергетический уровень валентных электронов, имеющий в изолированном атоме ширину около 10~⁷ эВ, превращается в кристалле в энергетическую зону шириной порядка единиц электрон-вольт.

В то же время электроны внутренних оболочек остаются столь же сильно локализованными, а энергетические уровни этих электронов в кристалле такими же узкими, как и в отдельно взятом атоме. Лишь по мере перехода к внешним оболочкам атома высота и ширина потенциального барьера уменьшаются, вероятность туннельного перехода электронов увеличивается, вследствие чего растет ширина энергетических зон. На рис. 3.9 показано изменение энергетических уровней атома натрия по мере их сближения. Справа приведены уровни изолированного атома натрия, слева — образование зон, обусловленное расширением уровней при уменьшении расстояния г между атомами.

Отметим еще одно важное свойство — число электронов, которое может поместиться в зоне, не зависит от взаимодействия и точно известно: оно равно числу атомов в кри-

Рие. 3.9

Расширение энергетических уровней при сближении атомов натрия с1 — межатомное расстояние в кристалле натрия.

сталле, умноженному на степень вырождения уровня, из которого образовалась зона. Если зона полностью занята, ее электроны не могут участвовать в электропроводности, ибо при этом их энергия под действием поля увеличивается, а все энергетические уровни заняты, можно только «перепрыгнуть» в другую зону. Заполненные зоны называются валентными зонами. Частично заполненные зоны называются зонами проводимости. Отсюда сразу становится понятным, в чем отличие проводников от непроводников — все связано с заполнением зон электронами, т. е. со структурой зон (рис. 3.10). У проводников электроны частично заполняют верхнюю разрешенную зону (зону проводимости). В полупроводниках и изоляторах при Т = 0 в зоне проводимости электронов нет.

Если ширина запрещенной зоны между валентной зоной и зоной проводимости велика по сравнению с характерной тепловой энергией, то такие вещества являются изоляторами, если она достаточно мала, мы имеем дело с полупроводниками, и так как вероятность появления электронов в зоне проводимости из валентной зоны за счет тепловой энергии пропорциональна больцмановскому фактору

где А — ширина запрещенной зоны, то проводимость полупроводников, зависящая от числа носителей в зоне проводимости, будет иметь сильную температурную зависимость. Фактически хорошие проводники — это все атомы с одним, двумя или тремя валентными электронами сверх оболочки инертного газа.

Различный характер зонной структуры проявляется, например, в значительном различии оптических свойств кристаллов указанных типов. При освещении электромагнитным излучением электроны в кристаллах (как и в атомах) способны переходить на более высокие энергетические уровни.

Поскольку уровни энергии в металлах в пределах одной зоны меняются почти непрерывно, электрон в зоне проводимости металла способен поглотить фотон практически любой энергии. Это приводит к тому, что металлы прозрачны для электромагнитного излучения в широком диапазоне частот. В то же время ширина запрещенной зоны в типичных диэлектриках составляет порядка ~10 эВ. Поэтому эти кристаллы прозрачны по отношению к видимому свету и непрозрачны для ультрафиолетовых лучей.

Добавление к таким кристаллам примесных атомов приводит к появлению дискретного уровня в запрещенной зоне, причем разность энергии между ним и зоной проводимости составляет 0,1-1 эВ.