ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОНОВ В КРИСТАЛЛЕ

Энергия и импульс электрона в кристалле связаны между собой сложным законом дисперсии, а не привычным

соотношением . характерным для классической

физики. Для электронов в вакууме II закон Ньютона можно записать

где Г — сила, действующая на электрон, рассматриваемый как материальная точка, т — его масса, и — скорость. Найдем аналогичное соотношение для валентного электрона, принадлежащего к не полностью заполненной энергетической зоне кристалла. Элементарная работа перемещения электрона, совершаемая внешней силой будет

Вследствие дифракции электронов в кристаллической решетке следует учитывать волновые свойства электрона. В таком случае необходимо рассматривать скорость волнового пакета, составленного из блоховских функций, определяемую выражением

Для электронов в вакууме групповая скорость равна обычной скорости частицы. По формуле Планка энергия пропорциональна угловой частоте

Подставляя (3.75) в (3.74), получим

отсюда

Из (3.73) и (3.76) получаем

Дифференцируя обе части (3.74) по t, устанавливаем искомую связь

Сравнение (3.78) и (3.72) показывает, что электрон в кристалле можно рассматривать как свободный, если ему приписать эффективную массу то*, определяемую формулой

Эффективная масса, в отличие от обычной массы, не определяет ни инерционных, ни гравитационных свойств частицы. Она является лишь коэффициентом в уравнении движения и отражает меру взаимодействия электронов с кристаллической решеткой.

Рис. 3.5

Зависимость от волнового числа:

Введение эффективной массы дает возможность, учитывая сложный характер взаимодействия электрона с кристаллической решеткой под действием силы внешнего электрического поля, пользоваться привычными формулами, определяющими его движение.

Наиболее характерной особенностью эффективной массы электронов в кристалле является то, что ее величина зависит от направления движения электрона и от его состояния (положения в энергетической зоне).

Зависимость эффективной массы от направления движения электрона объясняется анизотропией кристалла: при движении электрона силы взаимодействия его с кристаллической решеткой различны в различных кристаллографических направлениях.

а — энергии; б — скорости; в — эффективной массы электрона.

Эффективная масса может быть как больше, так и меньше обычной массы электрона. Более того, т* может быть и отрицательной величиной. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим следующий пример. Пусть зависимость Е(к) в одной из зон имеет вид, показанный на рис. 3.5а.

Дифференцируя по к, находим зависимости

изображенные на рис. 3.56, в. Видно, что эффективная масса электронов, располагающихся у дна зоны, положительна и близка к массе свободного электрона. В середине зоны, там, где наблюдается перегиб кривой Е(И), эффективная масса становится неопределенной. У потолка зоны электроны обладают отрицательной эффективной массой. Отрицательная эффективная масса означает, что ускорение электрона направлено против действия внешней силы, это видно на рис. 3.56. При /г, близких к границе зоны Бриллюэна, несмотря на увеличение к, скорость электрона уменьшается. Данный результат является следствием

брэгговского отражения. В точках электрон описывается уже не бегущей, а стоячей волной и и_гр = 0.

Заряженные частицы с отрицательной эффективной массой в электромагнитных полях двигаются как квазичастицы с зарядами противоположного знака. Такие квазичастицы получили название дырок.

Таким образом, необычные свойства валентных электронов кристалла, обусловленные появлением у них эффективных масс и возможностью изменения знака массы, позволяют рассматривать эти электроны не как обычные свободные частицы, а как квазичастицы, свойства которых значительно отличаются от свойств свободных электронов. К квазичастицам относят также квантовые термические возбуждения атомной и магнитной (спиновой) структуры кристалла: фононы, магноны и др.