БРЭГГОВСКИЕ ОТРАЖЕНИЯ НА ГРАНИЦАХ ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНА

Переходы между запрещенными и разрешенными зонами происходят на границах зон Бриллюэна, т. е. при волновом числе, соответствующем границе зон Бриллюэна, волны перестают распространяться в кристалле. Аналогичная ситуация имеет место при отражении рентгеновских лучей. Известно, что электромагнитные волны плохо проходят через кристалл (отражаются от него) при выполнении условия Брэгга-Вульфа

В одномерном случае каждая кристаллическая плоскость изображается точкой, и распространяющаяся вдоль

линии точек волна движется так, что

Заменяя й на а и X на 2^-, найдем, что отражение волн

наступает при

т. е. как раз на границах зон Бриллюэна.

Полученные соотношения справедливы не только для электромагнитных, но и для любых волн. В самом деле, из

(3.70) следует, что . Разность хода между волнами,

отраженными от соседних кристаллических плоскостей, равна 2а = пк. Иначе говоря, все отраженные волны находятся в фазе и усиливают друг друга. Ясно, что это условие является вполне общим и не предполагает, что рассматриваемая волна является именно электромагнитной. При сильном отражении волна не может распространяться в кристалле, что характерно для запрещенной зоны. Каждая запрещенная зона соответствует некоторому диапазону изменения энергии и одному — брэгговскому — значению импульса.

Полное отражение волны означает, что вместо бегущих волн вида ехр(//гд:) стационарным состояниям электрона при значениях отвечают стоячие волны. Падающая и отраженная волна могут складываться двумя способами, образуя симметричную и асимметричную комбинации (п = 1):

Волновым функциям |/х и у2 соответствуют разные значения энергии, причем Ех < Е2. Разность значений энергии Е2~ Ех = АЕ соответствует щели в энергетическом спектре или полосе (зоне) запрещенных энергий (рис. 3.4). Аналогичные щели в энергетическом спектре возникают и при

значениях Известно, что стоячая волна типа

|/х(х) отвечает условию отражения от абсолютно «мягкой» стенки, а волна |/2(лг) — от абсолютно «жесткой» стенки.

Рис. 3.4

Разрыв энергии электрона

при !г = — а

В промежуточном случае мы имеем дело с отражением от потенциального «барьера» конечной высоты и о = АЕ.

Таким образом, структуры энергетического спектра электрона в кристалле в приближении сильной связи и в приближении почти свободных электронов качественно совпадают. Различие состоит только в том, что в первом случае возникают узкие разрешенные зоны и широкие запрещенные зоны. Во втором случае, наоборот, получаются широкие разрешенные зоны и узкие зоны запрещенных энергий. В реальных кристаллах наблюдаются как эти предельные случаи, так и промежуточные варианты. Однако во всех случаях энергетический спектр электронов в кристалле имеет зонную структуру, причем в пределах каждой зоны энергия меняется почти непрерывно. Вместо классического случая, в котором электроны либо принадлежат отдельным атомам, либо движутся свободно до первого столкновения с атомным остовом, квантовая динамика приводит к качественно иному результату. В случае с идеальной решеткой каждый электрон способен двигаться свободно, не меняя энергию, если только она принадлежит определенной разрешенной зоне.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >