ЗАКОН ДИСПЕРСИИ. ПОЧТИ СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛЕ

Рассмотрим закон дисперсии (3.61). Он отличается от закона дисперсии для упругих колебаний в решетке кристалла, но при этом обладает рядом общих с ним черт. Выясним прежде всего смысл параметра к. Заметим, что при замене

где п — целое число, закон дисперсии ?(/г) = ?(Уг') и амплитуды вероятности С„ не меняются. Тем самым вместо рассмотрения всех возможных значений —ос < И < х параметра /г можно ограничиться интервалом

называемым основной зоной Бриллюэна (рис. 3.3).

Рис. 3.3

График функции Е = ((к) для первой энергетической зоны кристалла (основной зоны Бриллюэна)

Очевидно, что допустимые значения энергии стационарных состояний ограничены полосой:

Таким образом, дискретные уровни энергии Е0 в атоме превратились в полосы или зоны разрешенных энергий шириной 4А вокруг значений Е0. Между ними расположены зоны запрещенных энергий, так что электрон не может в стационарном состоянии обладать энергией вне зоны вида (3.64).

При изучении кристаллов принято использовать периодические граничные условия С, = С,г, где N — полное число атомов в цепочке. Из них следует, что

после сокращения на общий множитель: ехр(//га.У) = 1. Последнее условие удовлетворяется, если

так что параметр к принимает дискретный ряд значений

где Ь = а(А^ -1) = аіУ — длина цепочки атомов. Учитывая, что N * 1027, уровни энергий в пределах разрешенных зон расположены хотя и дискретно, но почти непрерывно, так как расстояние между соседними уровнями АЕ « 10 15 эВ.

По этой причине во многих случаях дискретностью параметра к и тем самым дискретностью уровней энергии в разрешенной зоне можно пренебречь.

В трехмерном случае каждая из компонент вектора /г принимает значения в своей зоне Бриллюэна:

где ; ; з, а числа т1 пробегают значения ( где размеры кристалла

Заметим, что, в отличие от волнового вектора волны де Бройля в вакууме, вектор И в кристалле определен неоднозначно , где (5 — вектор обратной решетки.

Поэтому его называют квазиволновым вектором.

Таким образом, при объединении N атомов в цепочку кристалла уровни энергии атома, которые были сильно вырождены, расщепляются в зоны разрешенных энергий, каждая из которых содержит по N уровней. В соответствии с принципом Паули на каждом из них может разместиться по два электрона с противоположными спинами, так что максимальная емкость одной энергетической зоны равна 2Ы.

Условием применимости рассмотренных определений является малая ширина разрешенных энергетических зон в сравнении с расстояниями между уровнями энергий в атоме. Точнее,

Такое приближение называется приближением сильной связи. В этом приближении полный энергетический спектр электрона в кристалле имеет характер сравнительно узких полос разрешенных энергий, разделенных широкими полосами запрещенных энергий. На опыте это приближение справедливо для относительно глубоких атомных уровней, когда волновые функции электрона в соседних атомах перекрываются мало.

У внешних электронов атомов приведенное условие (3.68), как правило, нарушается вследствие сильного перекрывания волновых функций электрона в соседних атомах. В результате ширина разрешенных зон увеличивается вплоть до того, что некоторые энергетические зоны смыкаются и даже перекрываются. В этом случае более полезно приближение почти свободных электронов. В нем первоначально влиянием кристаллической решетки вообще пренебрегают. На следующем этапе рассматривается прохождение волн де Бройля через решетку кристалла, играющую роль дифракционной решетки, в узлах которой локализованы атомы. Таким образом, в приближении сильной связи главная проблема состояла в объяснение того, почему электроны способны двигаться по всему кристаллу при наличии достаточно узких разрешенных энергетических зон, в то время как им было бы предпочтительнее находиться у «своих» атомов. Наоборот, в приближении почти свободных электронов главная проблема — понять, почему решетка, вместо того чтобы «тормозить» движение электронов с любой энергией, при некоторых значениях не оказывает на них никакого влияния, а при некоторых — вообще не позволяет электронам двигаться.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >