СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОНА В КРИСТАЛЛЕ В ПРИБЛИЖЕНИИ СИЛЬНОЙ СВЯЗИ

Рассмотрим спектр электронных состояний в кристалле. Каждый электрон благодаря способности к «туннельным переходам» от атома к атому принадлежит не отдельному атому, а кристаллу в целом. Для простоты рассмотрим одномерную бесконечную цепочку, составленную из одинаковых атомов с одинаковым расстоянием а между ними, причем реальная периодическая «цепочка» потенциальных ям ионов заменяется цепочкой прямоугольных потенциальных ям, расположенных друг от друга на таком же расстоянии а, как и ионы в кристалле.

Когда атомы находятся далеко друг от друга, волновые функции их валентных электронов будут практически такие же, как у изолированных атомов. Обозначим эти волновые функции через уп (например, для натрия это электрон в Зэ-состоянии). По мере сближения атомов можно ожидать, что на каком-то расстоянии электрон с одного атома из состояния может перескочить на соседний с состоянием |/п_х либо с состоянием |/„+1. Это предполагает, что волновую функцию электрона у можно с большой точностью записать в виде линейной комбинации состояний у„ N атомов цепочки, т. е.

Уравнение для коэффициентов С„ имеет вид

где коэффициент |С„(<)|2 определяет вероятность нахождения электрона в состоянии в момент времени t; коэффициент Етп — матричные элементы оператора Н.

Если считать, что электрон достаточно сильно локализован, то существенен лишь его перескок в соседние потенциальные ямы:

Здесь учтено, что Етп = Е0, так как при полной локализации электрона в п-м атоме его энергия есть энергия основного состояния, а коэффициент А есть добавка к энергии электрона, возникающая из-за возможности его пребывания в соседних атомах. Всего таких уравнений должно быть N — для всех валентных электронов решетки. В стационарном состоянии электрона временная зависимость имеет вид , пространственную же часть

будем искать в виде плоской волны

При подстановке в уравнение (3.45) получаем или, так как хп = па,

Это соотношение показывает, что при любом выборе /е имеется решение с определенной энергией, но, в отличие от дискретных уровней у атома, в кристалле возможна целая полоса разрешенных значений, и ширина этой зоны зависит от степени перекрытия волновых функций валентных электронов соседних атомов (степени делокализации электрона).

Следует отметить, что сами вероятности переходов

не зависят ни от положения п-го атома, ни от времени. Тем самым электрон в кристалле нигде не локализован и с равной вероятностью может быть обнаружен у любого атома. Полученный результат вполне объясним с квантовой точки зрения. Поскольку амплитуда вероятности вида (3.59) напоминает плоскую волну де Бройля, вследствие соотношения неопределенностей при фиксированном значении «волнового» вектора /г радиус-вектор электрона совершенно не определен.

Полученный результат обобщается на случай трехмерной решетки. При учете перескока электронов только к ближайшим соседним ионам закон дисперсии будет иметь вид

В области малых значений 1га (область длинных волн, электронов малой энергии) закон дисперсии Е = ДУе) остается квадратичным, как и в модели свободных электронов. Действительно, при , со&Иа , откуда

. Однако по мере увеличения волнового вектора закон дисперсии изменяется, и это приводит к существенному изменению динамики электронов в решетке.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >