3.2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОН КРИСТАЛЛОВ. ВОЛНЫ БЛОХА

Следующий шаг в развитии электронной теории состоит в учете силового поля, в котором движутся электроны проводимости, а также их взаимодействия друг с другом. Для упрощения полагают, что вместо изучения движения всех электронов можно рассматривать движение любого из них в поле периодически расположенных зарядов. Такой подход называют одноэлектронным. Будем считать справедливым адиабатическое приближение, согласно которому координаты ядер считаются фиксированными, поскольку массивные ядра движутся несравненно медленнее, чем электроны.

Исследуем движение обобществленных электронов в кристалле более внимательно. Энергетические уровни электронов определяются из уравнения Шредингера

где у (г) — волновая функция электрона; И(г) — его потенциальная энергия в электрическом поле решетки, а Е — его полная энергия. Потенциальная энергия представляет собой периодическую функцию координат, поскольку

где а —любой целочисленный вектор трансляции.

Введем новую систему координат, смещенную относительно старой на -а. Векторы р (с проекциями 4» р, С,) в новой системе координат получаются из старых векторов г с помощью простой формулы

Волновая функция электрона в новой системе координат может быть получена с помощью уравнения Шредингера, записанного в этой системе координат

Видно, что уравнения (3.48) и (3.51) не отличаются одно от другого, поскольку

Это означает, что их решения можно выбрать так, чтобы они отличались только числовым множителем. Обозначим его са. Следовательно, имеем

Общий вид функции, удовлетворяющий (3.54), имеет

вид

где и^(г) — периодическая (с периодом решетки) функция г.

Функции (3.55) носят название функций Блоха. Экспоненциальный множитель функции Блоха соответствует обычной плоской волне. Эта волна модулирована периодической функцией и/! (г), которая зависит от структуры кристаллической решетки, от параметра к и от некоторых других параметров (например, от поляризации волны). Появление этой функции является вполне естественным, так как электроны кристалла распространяются не в однородной среде, а в среде с периодически изменяющейся потенциальной энергией.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >