ХАРАКТЕРИСТИКИ ФЕРМИЕВСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ

Сначала найдем энергию Ферми Ер. Для этого определим число квантовых состояний (фазовых ячеек) (1г для свободных электронов с энергиями в интервале (Е, Е + йЕ).

Связь между энергией и импульсом электрона

Отсюда и . Поэтому йг в расчете на

единицу объема электронного газа примет вид

где введено обозначение

Чтобы определить число свободных электронов с1п в интервале энергий (Е, Е + (1Е), надо умножить соответствующее число с1г фазовых ячеек на среднее число электронов в одной ячейке, т. е. на функцию распределения /: с1п = 2fdz. Число 2 замещает для электронов множитель (2J + 1), определяющий число спиновых состояний. В нашем случае (Т = 0) свободные электроны заполняют полностью (/ = 1) все квантовые состояния с энергиями Е < Ер, и мы имеем

Для числа состояний на единичный энергетический интервал для единичного объема кристалла ?>(?), называемого плотностью электронных состояний, получим вы-

Рис. 3.2

Плотность состояний В(Е) как функция энергии Е для газа свободных электронов

ражение 0(Е) = ^; = 2а.у[Ё. Вид функции ?>(?) для свободам

ных электронов показан на рис. 3.2.

Площадь под кривой в пределах от 0 до ЕР, при Т = 0 К дает полную концентрацию п свободных электронов:

Отсюда находим Ер — максимальное значение энергии свободных электронов при Т = 0. Эта величина и есть энергия или уровень Ферми:

Средняя энергия всех электронов, т. е. энергия системы в основном состоянии, равна

Тогда средняя энергия одного электрона с учетом выражения для п равна

Величину энергии Ферми легко оценить. В обычных металлах электронная плотность п ~ 1023 см~3 и Ер оказываются порядка нескольких электрон-вольт

Температура Т0, соответствующая энергии Ферми, называется температурой вырождения:

При температуре много меньше температуры вырождения система является квантовой, в другом предельном случае она — классическая.

Оценим количественно температуру вырождения для электронов с плотностью порядка 1023 см"3:

Из этой оценки следует, что при всех температурах, пока тело остается твердым, его электронный спектр носит квантовый характер. Другими словами, электроны в металле всегда являются вырожденной системой. Другие примеры вырожденных ферми-газов: электроны внутри «белых карликов», ядерная материя — нейтроны и протоны в ядрах.

Из сказанного ясно, что в физике металлов важнейшую роль играют электроны, энергия которых близка к энергии Ферми. Эти электроны располагаются вблизи поверхности Ферми — поверхности Е = Ер в /г- или (р)-пространстве. Поверхность Ферми сохраняет периодичность волнового числа (или квазиимпульса) и состоит из повторяющихся геометрических фигур, которые могут иметь самые разные формы. Большая или меньшая сложность поверхности Ферми зависит от симметрии кристаллической решетки и от плотности электронов.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >