СВОБОДНЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ

Уравнение Шредингера для свободной частицы, находящейся в трехмерном ящике (кубе с ребрами длиной Ь) с бесконечно высокими барьерами на его стенках, имеет вид

где — операторы импульса. Граничные условия для этого случая удобно записать для каждой из осей X, у, 2 в виде

где индекс а обозначает х, у, г.

Обобщая волновую функцию (3.19), удовлетворяющую уравнению (3.14) и граничным условиям (3.18) на трехмерный случай,получим

Однако при рассмотрении кристаллов вместо указанных граничных условий чаще вводят периодические граничные условия, записываемые в виде

Можно убедиться, что при таких граничных условиях волновую функцию |/(г) удобно выбрать в виде

I

где вводится некоторый вектор к, определенный, как следует из его размерности, в обратном пространстве. Дифференцирование волновой функции дает

и,следовательно,

где к2 = к2 + к.2 + .

Подставляя этот результат в левую часть уравнения (3.26), получаем

или

Из сравнения выражения (3.34) с выражением для кинетической энергии свободной частицы массы т, обладающей импульсом р, видно, что введенный выше вектор к связан с импульсом частицы р соотношением

Используя выражение для длины электронной волны X = к/р, получаем

Таким образом, модуль волнового вектора дает число длин волн X, укладывающихся на отрезке, длина которого равна 2л. В соответствии с этим величину & назвали волновым числом, а вектор И — волновым вектором.

Выражение (3.30) описывает бегущую волну, что хорошо видно, если его дополнить зависящим от времени множителем ехр(гсоі)- Поскольку амплитуда у^(г) не зависит от г, описываемая этой функцией бегущая волна является плоской. Подставляя (3.30) в выражение для граничных условий (3.29), получим

откуда вытекает

Этим условиям соответствуют выражения для компонент волнового вектора Их, кц, кг

где пх, пу, п, — целые числа.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >