ЭНЕРГИЯ ФЕРМИ И ФУНКЦИЯ ФЕРМИ-ДИРАКА

Пусть на рассматриваемой прямой находятся N электронов. В одном состоянии (согласно принципу Паули) не может быть более двух электронов с противоположными спинами, т. е. каждая волновая функция |/„(х) описывает не более двух электронов.

Поскольку Еп ~ п2, то очевидно, что наименьшей энергии системы должно соответствовать постепенное заполнение всех энергетических состояний — от характеризующегося наименьшим, равным 1, значением п (в этом случае длина полуволны равна Ь) до состояния с максимально

возможным п, равным ^ (для простоты будем считать

N четным числом). Энергия электрона в состоянии с наибольшим п имеет вид

Электроны в этом состоянии называют фермиевскими. Их состояние обозначают индексом пР, волновую функцию — уп/.(х), энергию — Ер.

Итак, энергия Ферми — энергия электрона, находящегося в наивысшем состоянии, если, конечно, вся система не возбуждена и все низшие состояния заняты. Соответствующая условию минимальности энергии системы функция распределения электронов по состояниям /(?) имеет вид, показанный на рис. 3.1, и описывается формулой:

Рис. 3.1

Функция Ферми-Дирака для Т = 0 и для некоторой достаточно низкой температуры

Эту разрывную функцию называют фермиевской ступенькой. Проведенный анализ относится к основному невозмущенному состоянию электронного газа, соответствующему О К.

При повышении температуры часть электронов будет возбуждаться, в связи с чем некоторые электроны из области Е < Ер перейдут в область Е > Ер. Характер распределения электронов по состояниям в этом случае описывается функцией распределения Ферми-Дирака, которая имеет вид

где р — химический потенциал, величина которого численно равна энергии Е, при которой /(?) = —. При этом О К соответствует условие р = Ер, а повышение температуры приводит к медленному убыванию р. Из (3.25) следует, что при повышении температуры граница между занятыми и незанятыми состояниями размывается. Степень этого размытия пропорциональна ИТ.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >